Vsebina

• Stopati
• 1. del od 3: Osnove analize
• 2. del od 3: Razumevanje izpeljank
• 3. del od 3: Razumevanje integralov
• Nasveti

Analiza (imenovana tudi račun) je veja matematike, ki se osredotoča na meje, funkcije, izpeljanke, integrale in neskončne vrste. Predmet zajema veliko matematike in temelji na mnogih formulah in enačbah, ki se uporabljajo v fiziki in mehaniki. Verjetno boste morali imeti nekaj let matematike v srednji šoli, da boste pravilno razumeli analizo, toda ta članek vam bo pomagal pri učenju prepoznavanja ključnih konceptov in boljšega razumevanja teorije.

Stopati

1. del od 3: Osnove analize

1. Analiza je preučevanje, kako se stvari spreminjajo. Analiza je veja matematike, ki preučuje števila in grafe, ki jih običajno vzamemo iz resničnih podatkov, in razloži, kako se spreminjajo. Čeprav se to sprva morda ne zdi zelo koristno, je analiza ena najpogosteje uporabljenih vej matematike. Predstavljajte si, da imate orodja, ki vam bodo povedala, kako hitro vaše podjetje v danem trenutku raste, ali kako si začrtati potek vesoljske ladje in kako hitro se porabi gorivo. Analiza je pomembno orodje v inženirstvu, ekonomiji, statistiki, kemiji in fiziki ter je prispevala k številnim izumom in odkritjem.
2. Funkcije so razmerja med dvema številkama in se uporabljajo za preslikavo razmerij. So pravila za razmerje med števili in matematiki jih uporabljajo za izdelavo grafov. V funkciji ima vsak vhod točno en rezultat. Na primer: v ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Pomislite na koncept neskončnosti. Neskončnost je nenehno ponavljanje procesa. To ni točno določeno mesto (ne morete iti v neskončnost), temveč vedenje števila ali enačbe, če je to storjeno za vedno. To je pomembno za preučevanje sprememb: morda boste želeli vedeti, kako hitro se vaš avto v določenem trenutku premika, a je to, kako hitro se vaš avto premika v trenutni sekundi? Milisekunda? Nanosekunda? Če želite biti še bolj natančni, lahko najdete neskončno manjše koščke časa in takrat pride analiza.
3. Razumevanje koncepta omejitev. Omejitev vam pove, kaj se zgodi, ko se nekaj približa neskončnosti. Vzemite številko 1 in jo delite z 2. Nadaljujte z deljenjem z 2 znova in znova. 1 postane 1/2 in nato 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 itd. Vsakokrat, ko je število manjše in "bližje" ničli. Kje pa se ustavi? Kolikokrat morate deliti 1 z 2, da dobite ničlo? Namesto da odgovorite na to vprašanje, ga v analizi nastavite meja V tem primeru je meja.
   • Omejitve si je najlažje predstaviti v grafu - na primer, ali obstajajo točke, ki se jih graf skoraj dotakne, nikoli pa povsem?
   • Omejitve so lahko številske, neskončne ali celo neobstoječe. Na primer, z zaporedjem seštevanja 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... in to nadaljuje v neskončnost, končno število postane neskončno veliko. Meja nato postane neskončna.
4. Preglejte osnovne matematične koncepte algebre, trigonometrije in osnove matematike. Analiza temelji na večini matematike, ki ste se je že naučili. Dobro informiranje o vseh temah olajša učenje in razumevanje analiz. Nekatere teme, ki jih je treba razčistiti, so:
   • Algebra. Razumeti morate različne procese in biti sposobni reševati enačbe in sisteme enačb z več spremenljivkami. Razumevanje osnov zbirk. Vadite pri izdelavi grafov.
   • Geometrija. Geometrija je preučevanje oblik. Morali bi imeti osnovno znanje o trikotnikih, pravokotnikih in krogih ter kako izračunati stvari, kot so obod in površina. Razumevanje kotov, črt in koordinat
   • Trigonometrija. Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi krogov in pravokotnikov. Znati uporabljati trigonometrične identitete, grafe, funkcije in inverzne trigonometrične funkcije.
5. Nakup grafičnega kalkulatorja. Analize ni enostavno razumeti, ne da bi videli, kaj počnete. Grafični kalkulatorji naredijo funkcije vizualne, tako da lahko bolje razumete, s katerimi enačbami imate opravka. Pogosto so omejitve prikazane tudi na zaslonu, izpeljanke in funkcije pa se izračunajo samodejno.
   • Številni pametni telefoni in tablični računalniki danes ponujajo poceni, a učinkovite grafične aplikacije, če ne želite ali ne morete kupiti grafičnega kalkulatorja.

2. del od 3: Razumevanje izpeljank

1. Analiza se uporablja za proučevanje "sprememb v določenem trenutku". Jedro analize je vedeti, zakaj se nekaj v določenem trenutku spremeni. Analiza vam na primer ne prikazuje samo hitrosti avtomobila, temveč tudi, koliko se ta hitrost v danem trenutku spremeni. To je ena najpreprostejših načinov uporabe analiz, vendar zelo pomembna. Predstavljajte si, kako pomembne so takšne informacije pri določanju hitrosti, ki jo potrebuje vesoljska ladja do Lune!
   • Določanje sprememb v določenem trenutku je razlikovati. Diferenciacija je prva od dveh glavnih vej analize.
2. Uporabite izpeljanke, da boste razumeli, kako se stvari spreminjajo v določenem trenutku. "Izpeljanka" je lepa beseda za nekaj, kar učence pogosto vznemirja. Vendar samega koncepta ni tako težko razumeti - pomeni le "kako hitro se kaj spremeni." Izpeljanke, s katerimi se boste v vsakdanjem življenju najbolj srečevali, so povezane s hitrostjo. Vendar temu običajno ne rečete "izpeljava hitrosti", ampak preprosto "pospešek".
   • Pospeševanje je izpeljanka - pove vam, kako hitro se nekaj pospešuje ali upočasnjuje ali kako se njegova hitrost spreminja.
3. Vedite, da je hitrost spremembe enaka naklonu med dvema točkama. To je eno najpomembnejših odkritij analize. Hitrost spremembe med dvema točkama je enaka naklonu črte med tema dvema točkama. Samo pomislite na preprosto črto, kot je enačba ${ displaystyle y = 3x.}$Vedite, da lahko določite naklon ukrivljenih črt. Določitev naklona ravne črte je razmeroma enostavno: koliko sprememb ${ displaystyle y}$Če želite natančneje izračunati spremembo, se prepričajte, da so točke med seboj bližje. Bolj ko izberete dve točki, bolj natančen je vaš odgovor. Recimo, da želite vedeti, koliko vaš avto pospeši, ko pritisnete na plin. Ne želite meriti spremembe hitrosti med hišo in supermarketom, ampak spremembo hitrosti od trenutka, ko pritisnete na plin. Bolj ko se vaše branje približa tej delčki sekunde, bolj natančen je vaš izračun spremembe.
   • Na primer, znanstveniki preiskujejo, kako hitro nekatere vrste izumrejo, da bi jih rešile. Vendar pozimi pogine več živali kot poleti, zato ni koristno preučevati stopnje sprememb skozi vse leto - bolje je določiti stopnjo sprememb v manjšem obdobju, na primer od 1. julija do 1. avgusta.
4. Uporabite neskončno kratke vrstice za določitev "trenutne hitrosti sprememb" ali poiščite izpeljanko. Tu se analiza pogosto nekoliko zmede, vendar je to dejansko rezultat dveh preprostih dejstev. Najprej veste, da je naklon črte enak hitrosti spreminjanja te črte. Drugič, veste, da čim bližje so točke črte, bolj natančno bo branje. Toda kako najti hitrost sprememb na določeni točki, če je naklon razmerje med dvema točkama? Odgovor: Izberete dve točki, ki sta si neskončno blizu.
   • Razmislite o primeru, ko delite 1 z 2 in tako dobite 1/2, 1/4, 1/8 itd. Tako se na koncu približate ničli in odgovor je "skoraj nič". Točki sta si tako blizu, da sta si "skoraj enaki". To je narava izvedenih finančnih instrumentov.
5. Naučite se določiti različne izpeljanke. Obstaja veliko različnih tehnik za iskanje izpeljank, odvisno od enačbe, vendar je večina od njih smiselna, če ste si zgoraj zapomnili osnove izpeljank. Vse izpeljanke so način iskanja naklona "neskončno majhne" črte. Zdaj, ko veste več o teoriji izpeljank, je veliko dela v iskanju odgovorov.
6. Poiščite izpeljane enačbe za napoved hitrosti sprememb kadar koli. Koristno je uporabiti izvedene finančne instrumente za določanje hitrosti sprememb v danem trenutku, vendar je lepota analize v tem, da lahko za katero koli funkcijo ustvarite nov model. Izpeljanka iz ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Če je to težko razumljivo, se poskusite spomniti resničnih primerov izpeljank. Najenostavnejši primer temelji na hitrosti, ki zajema veliko različnih izpeljank, s katerimi se srečujemo vsak dan. Ne pozabi: izpeljanka je merilo, kako hitro se nekaj spremeni. Pomislite na preprost poskus. Na mizo valjate frnikolo in vsakič izmerite, kako daleč se premika in kako hitro. Zdaj pa si predstavljajte, da valjani marmor sledi črti na grafu - z izvedenimi merite trenutne spremembe kadar koli na tej črti.
   • Kako hitro se premika marmor? S kakšno hitrostjo se spremeni položaj (ali izpeljanka) gibljivega marmorja? To izpeljanko imenujemo "hitrost".
   • Zavijte marmor po pobočju in opazujte, kako se spreminja hitrost. Kakšna je hitrost spremembe ali izpeljave hitrosti marmorja? Ta izpeljanka imenujemo "pospešek".
   • Marmor povaljajte po valoviti progi, kot je tobogan. V kolikšni meri marmor pridobi hitrost, ko se skotali navzdol, in v kolikšni meri se marmor upočasni navkreber? Kako hitro gre marmor natančno, ko je na polovici prvega hriba? To je trenutna hitrost spremembe ali izpeljanka tega marmorja na tej določeni točki.

3. del od 3: Razumevanje integralov

1. Vedite, da lahko z analizo poiščete zapletena področja in količine. Z analizo lahko izmerite zapletene oblike, ki jih je sicer težko izmeriti. Razmislite na primer o težavi, ki jo želite vedeti, koliko vode vsebuje dolgo jezero nepravilne oblike - nemogoče je izmeriti vsak liter vode posebej ali z ravnilom izmeriti obliko jezera. Z analizo lahko preučite, kako se spreminjajo robovi jezera, nato pa na podlagi teh informacij ugotovite, koliko vode vsebuje.
   • Izdelava geometrijskih modelov in preučevanje volumnov integrirati. Integrirani račun je druga pomembna veja analize.
2. Vedite, da je integracija območje pod grafom. Integracija se uporablja za merjenje prostora pod črto, ki omogoča določanje območja nenavadnih ali nepravilnih oblik. Vzemi enačbo ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Vedite, da morate izbrati območje za integracijo. Ne morete preprosto integrirati celotne funkcije. Na primer, ${ displaystyle y = x}$Razmislite, kako izračunati površino pravokotnika. Recimo, da imate ravno črto nad grafom, na primer ${ displaystyle y = 4.}$Vedite, da je v integralnem računu veliko majhnih pravokotnikov, da bi našli površino območja. Ko izredno povečate krivuljo, se zdi, da je ravna črta. To vidite vsak dan - ne morete zaznati ukrivljenosti zemlje, ker ste tako blizu zemeljske površine. Integracija ustvari neskončno število majhnih pravokotnikov pod krivuljo, ki so tako majhni, da so v osnovi ravni, kar vam omogoča, da jih preštejete. Vsi ti pravokotniki, sešteti skupaj, tvorijo površino območja pod krivuljo.
   • Recimo, da pod grafom dodate veliko majhnih segmentov, in to je širina vsakega segmenta skoraj je nič.
3. Znati pravilno brati in zapisovati integrale. Integrali so sestavljeni iz 4 delov. Tipičen integral izgleda takole:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Preberite več o iskanju integralov. Integracija je v številnih oblikah, zato se morate naučiti veliko različnih formul za integracijo vsake funkcije. Vsi pa sledijo zgoraj opisanim načelom: integracija je vsota neskončnega števila stvari.
   • Vključi z nadomestitvijo.
   • Izračunaj nedoločene integrale.
   • Vključite z izmenjavo.
4. Vedite, da je integracija obratna stran diferenciacije in obratno. To je analitično pravilo, ki je tako pomembno, da je dobilo svoje ime: Glavni teorem integralnega izračuna.Ker sta integracija in diferenciacija tako tesno povezana, lahko kombinacijo obeh uporabimo za določanje hitrosti sprememb, pospeševanja, hitrosti, lokacije, gibanja itd., Ne glede na to, katere informacije imate.
   • Ne pozabite na primer, da je izpeljava hitrosti pospešek, tako da lahko s pomočjo hitrosti poiščete pospešek. Če pa poznate le pospeševanje nečesa (na primer predmeti, ki padajo zaradi gravitacije), potem lahko integrirate, da si povrnete hitrost!
5. Vedite, da lahko z integracijo nadzirate tudi glasnost 3D-predmetov. Vrtenje ravne oblike je eden od načinov za ustvarjanje 3D trdnih snovi. Predstavljajte si kovanec, ki se vrti na mizi - opazite, kako se zdi, da ima kovanec obliko krogle, ko se vrti. Ta koncept vam omogoča določanje glasnosti v skladu s postopkom, imenovanim "volumen z vrtenjem".
   • To vam omogoča, da določite prostornino katere koli trdne snovi, če imate funkcijo, ki jo predstavlja. Lahko na primer ustvarite funkcijo, ki sledi dnu jezera, nato pa s to pomočjo določite prostornino jezera ali količino vode, ki jo vsebuje.

Nasveti

• Vadba je popolna, zato vaje v svojem učbeniku - tudi tiste, ki jih vaš učitelj ni - in preverite odgovore, da boste lažje razumeli koncepte.
• Če ne najdete rešitve, vprašajte svojega učitelja.