Faktorske kvadratne enačbe

Vsebina

Stopati
Začetek
Metoda 1 od 6: Preskus in napaka
Metoda 2 od 6: Razgradnja
Metoda 3 od 6: Triple Play
Metoda 4 od 6: Razlika med dvema kvadratoma
Metoda 5 od 6: Formula ABC
6. metoda od 6: Uporaba kalkulatorja
Nasveti
Opozorila
Nujnosti

Polinom vsebuje spremenljivko (x) na določeno stopnjo in več izrazov in / ali konstant. Če želite razložiti polinom, boste morali izraz razbiti na manjše izraze, ki se pomnožijo skupaj. To pa zahteva določeno stopnjo matematike in je zato težko razumljivo, če še niste tako daleč.

Stopati

Začetek

Enačba. Standardna oblika kvadratne enačbe je:

ax + bx + c = 0
Začnite tako, da v enačbi razporedite izraze od največje do najmanjše moči. Na primer, vzemite:

6 + 6x + 13x = 0
Ta izraz bomo preuredili, da bo lažje delati z njim - preprosto s premikanjem izrazov:

6x + 13x + 6 = 0
Poiščite dejavnike z eno od spodnjih metod. Če s faktorjem določimo polinom, dobimo dva manjša izraza, ki ju lahko pomnožimo, da dobimo prvotni polinom:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
V tem primeru sta (2x +3) in (3x + 2) dejavniki od prvotnega izraza, 6x + 13x + 6.
Preverite svoje delo! Pomnožite faktorje, ki ste jih našli. Združite iste izraze in končali ste. Začeti z:

(2x + 3) (3x + 2)
Preizkusimo to, pomnožimo izraze z uporabo EBBL (prvi - zunanji - notranji - zadnji), ki nam da:

6x + 4x + 9x + 6
Zdaj skupaj seštevamo 4x in 9x, ker sta enaka izraza. Vemo, da so dejavniki pravilni, ker dobimo enačbo, s katero smo začeli:

6x + 13x + 6

Metoda 1 od 6: Preskus in napaka

Če imate dokaj preprost polinom, boste morda takoj videli, kateri dejavniki so. Na primer, po nekaj vajah lahko mnogi matematiki vidijo izraz 4x + 4x + 1 ima dejavnike (2x + 1) in (2x + 1) preprosto zato, ker so to videli že tolikokrat. (Očitno to z bolj zapletenimi polinami ne bo tako enostavno.) Za ta primer vzemimo manj standardni izraz:

3x + 2x - 8

Zapišite dejavnike a izraz in c izraz. Uporabite obliko ax + bx + c = 0, prepoznajte a in c pogoje in upoštevajte, kateri dejavniki obstajajo. Za 3x + 2x - 8 to pomeni:

a = 3 in ima 1 par faktorjev: 1 * 3
c = -8 in ima 4 pare faktorjev: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 in -1 * 8.
Zapišite dva para oklepajev s praznim presledkom. Tu vnesete konstante vsakega izraza:

(x) (x)
Prostor pred x-ji zapolnite s številnimi možnimi dejavniki a vrednost. Za a izraz v našem primeru, 3x, obstaja samo 1 možnost:

(3x) (1x)
Vstavite 2 presledka za xi z nekaj dejavniki za konstante. Recimo, da izberemo 8 in 1. Vnesite to:

(3x8) (X1)
Ugotovite, kateri znaki (plus ali minus) naj bodo med x spremenljivkami in števili. Glede na znake izvirnega izraza je mogoče ugotoviti, kakšni naj bodo znaki konstant. Vzemimo dve konstanti obeh dejavnikov h in k omeniti:

Če je ax + bx + c, potem (x + h) (x + k)
Če je ax - bx - c ali ax + bx - c, potem (x - h) (x + k)
Če je ax - bx + c, potem (x - h) (x - k)
V našem primeru, 3x + 2x - 8, je znak: (x - h) (x + k), kar nam daje naslednja dva dejavnika:

(3x + 8) in (x - 1)
Preizkusite svojo izbiro s pomnožitvijo prvi-zunanji-notranji-zadnji. Hitri prvi test, da ugotovimo, ali je srednji izraz vsaj pravilna vrednost. Če ne, potem verjetno imate napačnega c dejavniki. Preizkusimo odgovor:

(3x + 8) (x - 1)
Z množenjem dobimo:

3x - 3x + 8x - 8
Poenostavite ta izraz z dodajanjem podobnih izrazov (-3x) in (8x), in dobili bomo:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Zdaj vemo, da smo vzeli napačne dejavnike:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Po potrebi zamenjajte svojo izbiro. V našem primeru poskusimo 2 in 4, namesto 1 in 8:

(3x + 2) (x - 4)
Zdaj naš c izraz enak -8, toda zunanji / notranji zmnožek (3x * -4) in (2 * x) je -12x in 2x, kar ni pravilno b izraz ali + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Po potrebi obrnite vrstni red. Poskusimo obrniti 2 in 4:

(3x + 4) (x - 2)
Zdaj naš c izraz (4 * 2 = 8) in še vedno v redu, zunanji / notranji izdelki pa so -6x in 4x. Ko združimo te, dobimo:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Zdaj se že približamo 2x, kjer želimo biti, vendar znak še ni pravi.
Po potrebi še enkrat preverite svoje znake. To naročilo ohranimo, vendar ga zamenjamo z znakom minus:

(3x - 4) (x + 2)
Zdaj pa c izraz je še vedno v redu in zunanji / notranji izdelki so zdaj (6x) in (-4x). Ker:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Zdaj vidimo pozitivno 2x nazaj od prvotne težave. To morajo biti pravi dejavniki.

Metoda 2 od 6: Razgradnja

Ta metoda daje vse možne dejavnike a in c izraze in z njimi ugotovi, kateri dejavniki so pravilni. Če so številke zelo velike ali ugibanje drugih metod traja predolgo, uporabite ta način. Primer:

6x + 13x + 6

Pomnožite a izraz z c izraz. V tem primeru a je 6 in c je tudi 6.

6 * 6 = 36
Poišči b izraz z razdelitvijo in preskušanjem. Iščemo dve številki, ki sta dejavnika a * c in skupaj b izraz (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Nadomestite dve številki, ki ju dobite v enačbi, kot vsoto b izraz. Dajmo k in h da predstavljamo dve številki, ki ju imamo, 4 in 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktor polinoma z razvrščanjem v skupine. Enačbo organizirajte tako, da lahko ločite največji skupni delilec prvih dveh členov in zadnjih dveh členov. Oba dejavnika bi morala biti enaka. Sestavite GGD skupaj in jih postavite v oklepaje poleg dejavnikov; kot rezultat dobite dva dejavnika:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 od 6: Triple Play

Podobno kot pri razgradnji. Metoda "trojne igre" preučuje možne dejavnike produkta a in c in z njim ugotovite, kaj b mora biti. Za primer vzemimo enačbo:

8x + 10x + 2

Pomnožite a izraz z c izraz. Tako kot pri metodi razgradnje tudi s tem določimo kandidate za b izraz. V tem primeru: a je 8 in c je 2.

8 * 2 = 16
Poiščite dve številki s to številko kot zmnožkom in z vsoto, enako b izraz. Ta korak je enak metodi razgradnje - kandidate preizkušamo za konstante. Izdelek izdelka a in c izraz je 16, in c izraz je 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Vzemite ti dve številki in ju nadomestite v formuli "trojna igra". Vzemite dve številki iz prejšnjega koraka - vzemimo jih h in k pokličite jih - in jih dodajte v izraz:

((ax + h) (ax + k)) / a

S tem dobimo:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Oglejte si, katerega od obeh izrazov v imenovalcu lahko v celoti delimo z a. V tem primeru iščemo, ali lahko (8x + 8) ali (8x + 2) delimo z 8. (8x + 8) je deljivo z 8, zato ta izraz delimo z a drugega pa pustimo nespremenjenega.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Tu smo ohranili izraz, ki ostane po delitvi z a izraz: (x + 1)
Če je mogoče, vzemite največji skupni delilec (gcd) iz enega ali obeh izrazov. V tem primeru vidimo, da ima drugi člen gcd 2, ker je 8x + 2 = 2 (4x + 1). Ta odgovor združite z izrazom, ki ste ga odkrili v prejšnjem koraku. To so dejavniki vaše primerjave.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 od 6: Razlika med dvema kvadratoma

Nekatere koeficiente v polinumu lahko prepoznate kot "kvadratke" ali pa tudi kot zmnožek 2 enakih števil. Če ugotovite, kateri kvadrati so, boste morda lahko mnogo hitreje razločili polinome. Vzemimo enačbo:

27x - 12 = 0

Če je mogoče, odstranite gcd iz enačbe. V tem primeru vidimo, da sta 27 in 12 deljiva s 3, zato ju lahko postavimo ločeno:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Ugotovite, ali so koeficienti enačbe kvadrati. Za uporabo te metode je treba določiti koren izrazov. (Upoštevajte, da smo izpustili znake minus - ker so ta števila kvadratki, so lahko zmnožek 2 negativnih števil)

9x = 3x * 3x in 4 = 2 * 2
Z uporabo kvadratnega korena, ki ste ga določili, lahko zdaj zapišete faktorje. Vzamemo a in c vrednosti iz prejšnjega koraka: a = 9 in c = 4, torej so korenine tega: - √a = 3 in √c = 2. To so koeficienti faktorjiranih izrazov:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 od 6: Formula ABC

Če se zdi, da nič ne deluje in enačbe ne morete rešiti, uporabite formulo abc. Vzemimo naslednji primer:

x + 4x + 1 = 0

V formulo abc vnesite ustrezne vrednosti:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Zdaj dobimo izraz:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Reši za x. Zdaj bi morali dobiti 2 vrednosti za x. To so:

x = -2 + √ (3) ali x = -2 - √ (3)
Za določanje faktorjev uporabite vrednosti x. Vrednosti x, dobljene v obeh enačbah, vnesite kot konstante. To so vaši dejavniki. Če odgovorimo na oba h in k dva dejavnika zapišemo na naslednji način:

(x - h) (x - k)
V tem primeru je končni odgovor:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6. metoda od 6: Uporaba kalkulatorja

Če je dovoljena (ali obvezna) uporaba grafičnega kalkulatorja, je to faktoring veliko olajšalo, zlasti pri izpitih in izpitih. Naslednja navodila so za grafični kalkulator TI. Uporabljamo enačbo iz primera:

y = x - x - 2

Vnesite enačbo v svoj kalkulator. Uporabili boste reševalnik enačb, znan tudi kot zaslon [Y =].
Grafiziramo enačbo s kalkulatorjem. Ko vnesete enačbo, pritisnite [GRAPH] - zdaj bi morali videti ukrivljeno črto, parabolo kot grafični prikaz vaše enačbe (in to je parabola, ker imamo opravka s polinomom).
Poiščite, kje se parabola seka z osjo x. Ker je kvadratna enačba tradicionalno zapisana kot ax + bx + c = 0, sta to dve vrednosti x, zaradi katerih je enačba enaka nič:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Če ne vidite, kje se parabola seka z osjo x, pritisnite [2nd] in nato [TRACE]. Pritisnite [2] ali izberite "nič". Premaknite kazalec levo od križišča in pritisnite [ENTER]. Premaknite kazalec desno od križišča in pritisnite [ENTER]. Kazalec premaknite čim bližje presečišču in pritisnite [ENTER]. Kalkulator bo prikazal vrednost x. Naredite to tudi za drugo križišče.
V dva vstavljena izraza vnesite vrednosti x, ki ste jih dobili. Če vzamemo dve vrednosti x h in k kot izraz je izraz, ki ga uporabljamo, videti takole:

(x - h) (x - k) = 0
Torej naša dva dejavnika postaneta:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Nasveti

Če ste všteli polinom s formulo abc in vaš odgovor vsebuje korenine, lahko vrednosti x pretvorite v ulomke, da jih preverite.
Če pred izrazom ni koeficienta, je koeficient enak 1, npr. X = 1x.
Če imate kalkulator TI-84, obstaja program, imenovan SOLVER, ki lahko za vas reši kvadratno enačbo. Rešuje tudi polinome višje stopnje.
Po veliko vadbe boste sčasoma lahko polinome reševali na pamet. Da bi bili na varni strani, je bolje, da jih vedno izpišemo.
Če izraz ne obstaja, je koeficient enak nič. Potem je lahko koristno, če enačbo prepišemo. Npr. x + 6 = x + 0x + 6.

Opozorila

Če se tega koncepta učite pri pouku matematike, bodite pozorni na to, kaj učitelj razlaga, in ne uporabljajte samo svoje najljubše metode. Morda boste morali uporabiti določeno metodo za preskus ali pa grafični kalkulatorji morda ne bodo dovoljeni.