Kako razdeliti matrice

Video.: Домаћи Stage6 R/T варијатор за Yamaha Jog скутер - ливење алуминијума - furan

Vsebina

Kratek povzetek
Koraki
1. del od 3: Preverjanje deljivosti matric
2. del 3: Iskanje inverzne matrike
3. del 3: Matrično množenje
Nasveti
Opozorila
Dodatni članki

Če veste, kako pomnožiti dve matrici, lahko začnete »deliti« matrice. Beseda »delitev« je zaprta med narekovaje, saj matric dejansko ni mogoče razdeliti. Operacijo deljenja nadomesti operacija množenja ene matrice z matrico, ki je obratna drugi matrici. Za preprostost razmislite o primeru s celimi števili: 10 ÷ 5. Poiščite vzajemnost 5: 5 ali /₅, nato pa deljenje zamenjajte z množenjem: 10 x 5; rezultat deljenja in množenja bo enak. Zato velja, da je delitev mogoče nadomestiti z množenjem z obratno matriko. Običajno se takšni izračuni uporabljajo za reševanje sistemov linearnih enačb.

Kratek povzetek

Matric ne morete deliti. Namesto deljenja se ena matrika pomnoži z obratno drugo matriko. "Delitev" dveh matrik [A] ÷ [B] je zapisana na naslednji način: [A] * [B] ali [B] * [A].
Če matrika [B] ni kvadratna ali če je njena determinanta 0, zapišite "brez enoznačne rešitve". V nasprotnem primeru poiščite determinanto matrike [B] in pojdite na naslednji korak.
Poiščite obratno: [B].
Pomnožite matrice, da poiščete [A] * [B] ali [B] * [A]. Upoštevajte, da vrstni red množenja matrik vpliva na končni rezultat (to pomeni, da se lahko rezultati razlikujejo).

Koraki

1. del od 3: Preverjanje deljivosti matric

1 Razumeti "delitev" matrik. Pravzaprav matric ni mogoče razdeliti. Ne obstaja takšna matematična operacija kot "deljenje ene matrice na drugo". Delitev se nadomesti z množenjem ene matrice z obratno drugo matriko. To pomeni, da zapis [A] ÷ [B] ni pravilen, zato ga nadomestimo z naslednjim zapisom: [A] * [B]. Ker sta v primeru skalarnih vrednosti oba vnosa enakovredna, lahko teoretično govorimo o "delitvi" matrik, vendar je vseeno bolje uporabiti pravilno terminologijo.
- Upoštevajte, da sta [A] * [B] in [B] * [A] različni operaciji. Za iskanje vseh možnih rešitev bo morda treba izvesti obe operaciji.
- Na primer, namesto ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ zapisati ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Morda boste morali izračunati ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ da bi dobili drugačen rezultat.
2 Prepričajte se, da je matrika, s katero "delite" drugo matrico, kvadratna. Če želite obrniti matriko (poiščite obratno matriko), mora biti kvadratna, to je z enakim številom vrstic in stolpcev. Če obrnjena matrika ni obratna, dokončne rešitve ni.
- Tudi tu matrike niso "deljive". V operaciji [A] * [B] se opisani pogoj nanaša na matriko [B]. V našem primeru se ta pogoj nanaša na matriko ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Matrika, ki jo je mogoče obrniti, se imenuje nedegenerirana ali pravilna. Matrika, ki je ni mogoče obrniti, se imenuje degenerirana ali singularna.
3 Preverite, ali je mogoče matrice pomnožiti. Če želite pomnožiti dve matrici, mora biti število stolpcev v prvi matrici enako številu vrstic v drugi matrici. Če ta pogoj ni izpolnjen pri vnosu [A] * [B] ali [B] * [A], rešitve ni.
- Na primer, če je velikost matrike [A] 4 x 3 in velikost matrike [B] 2 x 2, rešitve ni. [A] * [B] ne morete pomnožiti, ker 4 ≠ 2, in [B] * [A] ne morete pomnožiti, ker 2 ≠ 3.
- Upoštevajte, da ima obratna matrika [B] vedno enako število vrstic in stolpcev kot izvirna matrika [B]. Za preverjanje, ali je mogoče dve matrici pomnožiti, ni treba najti inverzne matrike.
- V našem primeru je velikost obeh matrik 2 x 2, zato ju je mogoče pomnožiti v poljubnem vrstnem redu.
4 Poiščite determinanto matrike 2 × 2. Ne pozabite: matriko lahko obrnete le, če njena determinanta ni nič (sicer matrike ni mogoče obrniti). Določitev determinante matrike 2 x 2 najdete tako:
- 2 x 2 matrika: determinanta matrike ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ je enako ad - bc. To pomeni, da od produkta elementov glavne diagonale (prehaja skozi zgornji levi in spodnji desni kot) odštejemo produkte elementov druge diagonale (prehaja skozi zgornji desni in spodnji levi kot).
- Na primer determinanta matrike ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ je enak (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinanta ni nič, zato je to matriko mogoče obrniti.
5 Poiščite determinanto večje matrice. Če je velikost matrike 3 x 3 ali več, je determinanto nekoliko težje izračunati.
- 3 x 3 matrika: izberite kateri koli element in prečrtajte vrstico in stolpec, v katerem je.Poiščite determinanto nastale matrice 2 × 2 in jo nato pomnožite z izbranim elementom; v posebni tabeli navedite znak determinante. Ta postopek ponovite za druga dva elementa, ki sta v isti vrstici ali stolpcu kot izbrani element. Nato poiščite vsoto prejetih (treh) determinant. Za več informacij o tem, kako najti determinanto matrike 3 x 3, preberite ta članek.
- Velike matrice: determinante takih matrik je najbolje iskati z grafičnim kalkulatorjem ali programsko opremo. Metoda je podobna metodi za iskanje determinante matrike 3 × 3, vendar je ročna uporaba precej mučna. Če želite na primer najti determinanto matrike 4 x 4, morate poiskati determinante štirih matrik 3 x 3.
6 Nadaljujte z izračuni. Če matrika ni kvadratna ali če je njena determinanta enaka nič, napišite "brez enoznačne rešitve", to pomeni, da je postopek izračuna zaključen. Če je matrika kvadratna in ima determinanto, ki ni enaka nič, pojdite na naslednji razdelek.

2. del 3: Iskanje inverzne matrike

1 Zamenjajte elemente glavne diagonale matrice 2 x 2. Glede na matriko 2 × 2 uporabite hitro obratno metodo. Najprej zamenjajte zgornji levi element in spodnji desni element. Na primer:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Opomba: večina ljudi uporablja kalkulatorje, da obrne matriko 3 x 3 (ali večjo). Če morate to narediti ročno, pojdite na konec tega razdelka.
2 Preostalih dveh elementov ne zamenjajte, ampak spremenite njihov predznak. To pomeni, da zgornji desni element in spodnji levi element pomnožite z -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Poiščite vzajemnost determinante. Določitev te matrike je bila najdena v prejšnjem razdelku, zato je ne bomo več izračunali. Inverzija determinante je zapisana na naslednji način: 1 / (determinanta):
- V našem primeru je determinanta 13. Obratna vrednost: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Nastalo matrico pomnožite z recipročno vrednostjo determinante. Pomnožite vsak element nove matrike z obratno vrednostjo determinante. Končna matrika bo obratna od prvotne matrice 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Preverite, ali so izračuni pravilni. Če želite to narediti, pomnožite izvirno matriko z njeno obratno. Če so izračuni pravilni, bo zmnožek izvirne matrike z obratno vrednost dal matriko identitete: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Če je bil test uspešen, pojdite na naslednji razdelek.
- V našem primeru: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Za več informacij o tem, kako množite matrike, preberite ta članek.
- Opomba: delovanje matričnega množenja ni komutativno, to pomeni, da je vrstni red matrik pomemben. Ko pa izvirno matriko pomnožimo z njeno obratno, vodi kateri koli vrstni red do matrice identitete.
6 Poiščite obratno matrike 3 x 3 (ali večji). Če ste s tem postopkom že seznanjeni, je bolje uporabiti grafični kalkulator ali posebno programsko opremo. Če morate ročno najti obratno matriko, je postopek na kratko opisan spodaj:
- Pridružite se matriki identitete I na desni strani izvirne matrice. Na primer [B] → [B | JAZ]. Za identitetno matriko so vsi elementi glavne diagonale enaki 1, vsi drugi elementi pa 0.
- Poenostavite matriko tako, da postane njena leva stran stopničasta; še naprej poenostavljati, tako da leva stran postane matrika identitete.
- Po poenostavitvi bo matrika dobila naslednjo obliko: [I | B]. To pomeni, da je njegova desna stran obratna od prvotne matrice.

3. del 3: Matrično množenje

1 Zapišite dva možna izraza. Operacija množenja dveh skalarjev je komutativna, to je 2 x 6 = 6 x 2.V primeru matričnega množenja to ne velja, zato boste morda morali rešiti dva izraza:
- x = [A] * [B] je rešitev enačbe x[B] = [A].
- x = [B] * [A] je rešitev enačbe [B]x = [A].
- Vsako matematično operacijo izvedite na obeh straneh enačbe. Če je [A] = [C], potem [B] [A] ≠ [C] [B], ker je [B] levo od [A], vendar desno od [C].
2 Določite velikost končne matrice. Velikost končne matrike je odvisna od velikosti pomnoženih matrik. Število vrstic v končni matrici je enako številu vrstic v prvi matrici, število stolpcev v končni matrici pa je enako številu stolpcev v drugi matrici.
- V našem primeru velikost obeh matrik ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ in ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ je 2 x 2, zato bo velikost izvirne matrice 2 x 2.
- Razmislite o bolj zapletenem primeru: če je velikost matrike [A] enaka 4 x 3, velikost matrike [B] pa 3 x 3, potem bo končna matrika [A] * [B] 4 x 3.
3 Poiščite vrednost prvega elementa. Preberite ta članek ali se spomnite naslednjih osnovnih korakov:
- Če želite najti prvi element (prva vrstica, prvi stolpec) končne matrike [A] [B], izračunajte pikčast proizvod elementov prve vrstice matrike [A] in elementov prvega stolpca matrike [B ]. V primeru matrike 2 x 2 se točkovni produkt izračuna na naslednji način: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- V našem primeru: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Tako bo prvi element končne matrike element:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Nadaljujte z izračunom točkovnih produktov, da poiščete vsak element končne matrike. Na primer, element, ki se nahaja v drugi vrstici in prvem stolpcu, je enak dot produktu druge vrstice matrike [A] in prvega stolpca matrike [B]. Preostale predmete poskusite najti sami. Morali bi dobiti naslednje rezultate:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Če morate najti drugo rešitev: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 konec {pmatrix}}}$

Nasveti

Matriko lahko razdelimo na skalarno; za to je vsak element matrike deljen s skalarjem.
- Na primer, če matrika ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ deljeno z 2 dobite matriko ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Opozorila

Kalkulator ne daje vedno popolnoma natančnih rezultatov, ko gre za matrične izračune. Na primer, če kalkulator trdi, da je postavka zelo majhno število (na primer 2E), je vrednost najverjetneje nič.