Vsebina

• Stopati
• Metoda 1 od 3: Prva preprosta naloga
• Metoda 2 od 3: Izračun pričakovane vrednosti za določen rezultat
• 3. metoda od 3: Razumevanje koncepta
• Nasveti
• Nujnosti

Pričakovana vrednost je statistični izraz in koncept, ki se uporablja za odločanje, kako koristno ali škodljivo bo dejanje. Za izračun pričakovane vrednosti je treba dobro razumeti vsak izid v določeni situaciji in s tem povezano verjetnost ali verjetnost, da bo prišlo do določenega izida. V spodnjih korakih je nekaj primerov vaj, ki vam bodo pomagale razumeti koncept pričakovane vrednosti.

Stopati

Metoda 1 od 3: Prva preprosta naloga

1. Preberite izjavo. Preden začnete razmišljati o vseh možnih izidih in verjetnostih, je pomembno, da razumete težavo. Na primer igra s kockami, ki stane 10 EUR na igro. Šestnajstiška kocka se enkrat izvrže in vaši dobitki so odvisni od števila vloženih igralcev. Če se šestica vrne, dobite 30 €; 5 zasluži 20 €; katero koli drugo število ne prinese ničesar.
2. Naštejte vse možne izide. Pomaga pri naštevanju vseh možnih izidov v dani situaciji. V zgornjem primeru obstaja 6 možnih izidov. To so: (1) zvrnite 1 in izgubite 10 $, (2) zvrnite 2 in izgubite 10 $, (3) zvrnite 3 in izgubite 10 $, (4) zvite 4 in izgubite 10 $ , (5) zvrnite 5 in osvojite 10 $, (6) zvrnite 6 in osvojite 20 $.
   • Upoštevajte, da je vsak izid za 10 EUR manjši od zgoraj opisanega, saj boste morali najprej plačati 10 EUR na igro, ne glede na izid.
3. Določite verjetnost vsakega izida. V tem primeru je verjetnost kakršnih koli 6 izidov enaka. Verjetnost valjanja naključnega števila je 1 proti 6. Za lažje zapisovanje bomo ulomek (1/6) zapisali v decimalno mesto s pomočjo kalkulatorja: 0,167. To verjetnost zapišite ob vsakem izidu, še posebej, če želite za vsak izid rešiti problem z različnimi verjetnostmi.
   • Vaš kalkulator 1/6 lahko naredi približno 0,166667. To zaokrožimo na 0,167, da olajšamo izračun brez žrtvovanja natančnosti.
   • Če želite zelo natančen rezultat, naj ne bo decimalno, v formulo vnesite 1/6 in ga izračunajte v kalkulatorju.
4. Zapišite vrednost vsakega izida. Pomnožite $ rezultata z verjetnostjo, da se bo rezultat pojavil, da izračunate, koliko denarja bo ta rezultat prispeval k pričakovani vrednosti. Na primer, rezultat valjanja 1 je - 10 USD in verjetnost valjanja 1 je 0,167. Vrednost metanja 1 je torej (-10) * (0,167).
   • Zdaj ni treba izračunati teh rezultatov, če imate kalkulator, ki lahko izvaja več operacij hkrati. Če vnesete celotno enačbo, boste dobili natančnejši rezultat.
5. Dodajte vrednost vsakega rezultata, da dobite pričakovano vrednost dogodka. Če želite nadaljevati z zgornjim primerom, je pričakovana vrednost igre s kockami: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) ali - 1,67 €. Tako lahko pričakujete, da boste vsakič izgubili 1,67 $ na tej igri (na igro).
6. Kakšne so posledice izračuna pričakovane vrednosti. V zgornjem primeru smo ugotovili, da bo pričakovani dobiček (izguba) - 1,67 EUR na met. To je nemogoč izid za 1 tekmo; lahko izgubite 10 €, dobite 10 € ali osvojite 20 €. Toda dolgoročno pričakovana vrednost je koristna, povprečna verjetnost. Če boste še naprej igrali to igro, boste v povprečju izgubili približno 1,67 USD na igro. Drug način razmišljanja o pričakovani vrednosti je dodelitev določenih stroškov (ali koristi) igri; to igro lahko igrate le, če se vam zdi vredna, uživajte v njej, da vsakič z njo zapravite 1,67 USD.
   • Bolj pogosto kot se situacija ponovi, bolj natančno je pričakovana vrednost prikaz dejanskega povprečnega rezultata. Na primer, morda igrate igro petkrat zapored in vsakič izgubite, kar povzroči povprečno izgubo 10 USD. Če pa boste igro igrali še 1000-krat, se bo povprečni rezultat vedno bolj približal pričakovani vrednosti - 1,67 EUR na igro. To načelo se imenuje "zakon velikih števil".

Metoda 2 od 3: Izračun pričakovane vrednosti za določen rezultat

1. S to metodo izračunajte povprečno število kovancev, ki jih morate obrniti, preden pride do določenega vzorca. Na primer z metodo lahko ugotovite pričakovano število kovancev, ki se bodo obrnili, dokler ne boste imeli glave dvakrat zapored. Ta težava je nekoliko težavnejša od običajne težave z vrednostmi pričakovanja, zato najprej preberite zgornji del tega članka, če niste seznanjeni s konceptom vrednosti pričakovanja.
2. Recimo, da iščemo vrednost x. Poskušate ugotoviti, koliko kovancev morate v povprečju obrniti, da dobite dve glavi zapored. Zdaj naredimo primerjavo, da poiščemo odgovor. Odgovor, ki ga iščemo, imenujemo x. Potrebne primerjave naredimo korak za korakom. Trenutno imamo naslednje:
   • x = ___
3. Pomislite, kaj se zgodi, če prvi flip povzroči kovanec. Tako bo v polovici primerov. V tem primeru ste "zapravili" prevrnitev, medtem ko se možnost, da bi dvakrat zapored zavrteli z glavo, ni spremenila. Tako kot pri metanju kovancev se pričakuje, da boste morali metati povprečno večkrat, preden boste dvakrat zapored dobili glavo. Z drugimi besedami, pričakovali boste, da se bo x vrtel x krat, poleg tistih, ki ste jih že igrali. V obliki enačbe:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Zapolnili bomo prazen prostor, ko bomo še naprej razmišljali o drugih situacijah.
   • Namesto decimalnih znakov lahko uporabite ulomke, če je to lažje ali potrebno.
4. Pomislite, kaj se zgodi, ko vržete glavo. Obstaja 0,5 (ali 1/2) verjetnosti, da boste prvič vrgli skodelico. Zdi se, da se to približuje cilju dvakrat zaporednega metanja glave, a koliko? Najlažji način je, da razmislite o svojih možnostih v drugem zvitku:
   • Če je drugo metanje kovanec, smo spet na začetku.
   • Če je drugič tudi pokal, smo končali!
5. Naučite se izračunati verjetnost, da se bosta zgodila oba dogodka. Zdaj vemo, da imate 50-odstotno verjetnost, da boste vrgli pokal, toda kakšna je verjetnost, da boste pokal vrgli dvakrat zapored? Za izračun te verjetnosti pomnožite verjetnost obeh. V tem primeru je 0,5 x 0,5 = 0,25. Seveda je to tudi verjetnost, da boste valjali glave in nato repove, ker imata oba možnost, da se zgodi 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. V enačbo dodajte rezultat za "glave, nato repi". Zdaj, ko smo izračunali verjetnost, da se bo ta dogodek zgodil, lahko nadaljujemo z razširitvijo enačbe. Obstaja 0,25 (ali 1/4) verjetnosti, da bomo dvakrat zapravili metanje, ne da bi se premaknili naprej. Zdaj pa še vedno potrebujemo x več metov v povprečju, da dobimo rezultat, ki ga želimo, plus dva, ki smo jih že vrgli. V obliki enačbe to postane (0,25) (x + 2), kar lahko zdaj dodamo enačbi:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. V enačbo dodajte rezultat za "heading, heading". Če se premikate z glavo, glavo s prvima dvema metoma kovancev, ste končali. Rezultat ste dobili v natanko 2 metu. Kot smo že omenili, obstaja 0,25 možnosti, da se to zgodi, zato je enačba za to (0,25) (2). Naša primerjava je zdaj končana:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Če niste prepričani, da ste premislili vse možne situacije, obstaja enostaven način, da preverite, ali je enačba popolna. Prvo število v vsakem delu enačbe predstavlja verjetnost, da se bo dogodek zgodil. To bo vedno seštelo 1. Tukaj je 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, zato vemo, da smo vključili vse primere.
8. Poenostavite enačbo. Olajšajmo si enačbo z množenjem. Ne pozabite, če v oklepajih vidite nekaj takega: (0,5) (x + 1), potem pomnožite 0,5 z vsakim izrazom, ki je v drugem nizu oklepajev. Tako dobite naslednje: 0,5x + (0,5) (1) ali 0,5x + 0,5. Naredimo to za vsak člen v enačbi, nato združimo te izraze, da bo vse skupaj videti nekoliko bolj preprosto:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Reši za x. Kot v kateri koli enačbi boste morali za izračun x izolirati x na eni strani enačbe. Ne pozabite, x pomeni "povprečno število kovancev, ki jih morate metati, da dobite glave dvakrat zapored." Ko smo izračunali x, smo našli tudi svoj odgovor.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • V povprečju boste morali kovanec metati 6-krat, preden boste dvakrat metali glave.

3. metoda od 3: Razumevanje koncepta

1. Kaj je dejansko pričakovana vrednost. Vrednost pričakovanja ni nujno najbolj očiten ali logičen rezultat. Včasih je lahko pričakovana vrednost v dani situaciji celo nemogoča. Na primer, pričakovana vrednost je lahko + 5 EUR za igro z nagrado največ 10 EUR. Pričakovana vrednost kaže na to, koliko vrednosti ima določen dogodek. Če ima igra pričakovano vrednost + 5 EUR, jo lahko igrate, če menite, da je vredna časa in denarja, ki ga lahko dobite na igro. Če ima druga igra pričakovano vrednost - 20 USD, jo igrate samo, če menite, da je vsaka igra vredna 20 USD.
2. Razumevanje koncepta neodvisnih dogodkov. V vsakdanjem življenju mnogi od nas mislijo, da imamo srečen dan, ko se zgodijo nekatere dobre stvari, in pričakujemo, da bo preostali del dneva potekal tako.Na enak način lahko mislimo, da smo imeli nesrečo dovolj in da je zdaj res treba narediti nekaj zabavnega. Matematično stvari ne gredo tako. Če vržete navaden kovanec, obstaja popolnoma enaka možnost, da vržete glavo ali kovanec. Ni važno, kolikokrat ste že vrgli; naslednjič, ko vržete, še vedno deluje enako. Žrebanje kovancev je "neodvisno" od drugih žetonov, nanj to ne vpliva.
   • Prepričanje, da lahko imate srečo ali srečo pri metanju kovancev (ali kateri koli drugi igri na srečo), ali Dejstvo, da se je vsa vaša slaba sreča končala in je sreča na vaši strani, se imenuje tudi goljufanje igralcev (ali zmota igralca). To je povezano s težnjo ljudi, da sprejemajo tvegane ali neumne odločitve, kadar menijo, da je sreča na njihovi strani ali če čutijo "srečo" ali če menijo, da se "sreča kmalu obrne."
3. Razumeti zakon velikih števil. Morda mislite, da pričakovana vrednost v resnici ni koristna, saj le redko pove, kakšen je dejanski izid situacije. Če ste izračunali, da je pričakovana vrednost igre z ruleto - 1 €, in igro igrate 3-krat, boste na koncu dobili - 10 € ali + 60 € ali kakšen drug rezultat. "Zakon velikih števil" pomaga razložiti, zakaj je pričakovana vrednost uporabnejša, kot si morda mislite: bolj ko boste igrali, bližje povprečni rezultat bo pričakovani vrednosti. Ko pogledate veliko število dogodkov, obstaja velika verjetnost, da je končni rezultat blizu pričakovane vrednosti.

Nasveti

• V primerih, ko je možnih več izidov, lahko v računalniku ustvarite preglednico za izračun pričakovane vrednosti z uporabo izidov in njihovih verjetnosti.
• Zgornji izračuni evrov delujejo tudi v drugih valutah.

Nujnosti

• Svinčnik
• Papir
• Kalkulator