Vsebina

• Stopati

Trigonometrična enačba je enačba z eno ali več trigonometričnimi funkcijami spremenljivke trigonometrične krivulje x. Reševanje za x pomeni iskanje vrednosti trigonometričnih krivulj, katerih trigonometrične funkcije povzročajo, da trigonometrična enačba drži.

• Odgovori ali vrednosti krivulj raztopine so izraženi v stopinjah ali radianih. Primeri:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 stopinj; x = 37,12 stopinj; x = 178,37 stopinj

• Opomba: Na enotnem krogu so trigonometrične funkcije katere koli krivulje enake trigonometričnim funkcijam ustreznega kota. Enoten krog definira vse trigonometrične funkcije spremenljive krivulje x. Uporablja se tudi kot dokaz pri reševanju osnovnih trigonometričnih enačb in neenakosti.
• Primeri trigonometričnih enačb:
  • greh x + sin 2x = 1/2; rjava x + otroška posteljica x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Enoten krog.
   • To je krog s polmerom = 1, kjer je O izvor. Enotni krog definira 4 glavne trigonometrične funkcije spremenljive krivulje x, ki jo kroži v nasprotni smeri urnega kazalca.
   • Ko se krivulja z vrednostjo x spreminja glede na enotni krog, potem drži:
   • Vodoravna os OAx določa trigonometrično funkcijo f (x) = cos x.
   • Navpična os OBy definira trigonometrično funkcijo f (x) = sin x.
   • Navpična os AT definira trigonometrično funkcijo f (x) = tan x.
   • Vodoravna os BU določa trigonometrično funkcijo f (x) = cot x.

• Enotni krog se uporablja tudi za reševanje osnovnih trigonometričnih enačb in standardnih trigonometričnih neenakosti z upoštevanjem različnih položajev krivulje x na krožnici.

Stopati

1. Razumevanje metode rešitve.
   • Za rešitev trigonometrične enačbe jo pretvorite v eno ali več osnovnih trigonometričnih enačb. Reševanje trigonometričnih enačb na koncu privede do reševanja 4 osnovnih trigonometričnih enačb.
2. Znati reševati osnovne trigonometrične enačbe.
   • Obstajajo 4 osnovne trigonometrične enačbe:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; otroška posteljica x = a
   • Osnovne trigonometrične enačbe lahko rešite tako, da preučite različne položaje krivulje x na trigonometričnem krogu in uporabite trigonometrično pretvorbeno tabelo (ali kalkulator). Če želite v celoti razumeti, kako rešiti te in podobne osnovne trigonometrične enačbe, preberite naslednjo knjigo: "Trigonometrija: reševanje trigonometričnih enačb in neenakosti" (Amazon E-book 2010).
   • Primer 1. Reši za greh x = 0,866. Tabela za pretvorbo (ali kalkulator) daje odgovor: x = Pi / 3. Trigonometrični krog daje še eno krivuljo (2Pi / 3) z enako vrednostjo za sinus (0.866). Trigonometrični krog ponuja tudi neskončnost odgovorov, imenovanih razširjeni odgovori.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi in x2 = 2Pi / 3. (Odgovori v obdobju (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi in x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Podrobni odgovori).
   • Primer 2. Reši: cos x = -1/2. Kalkulatorji dajo x = 2 Pi / 3. Trigonometrični krog daje tudi x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi in x2 = - 2Pi / 3. (Odgovori za obdobje (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi in x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Razširjeni odgovori)
   • Primer 3. Rešitev: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Odgovor)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Razširjeni odgovor)
   • Primer 4. Rešitev: otroška posteljica 2x = 1,732. Kalkulatorji in trigonometrični krog dajejo:
   • x = Pi / 12; (Odgovor)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Razširjeni odgovori)
3. Spoznajte transformacije, ki se uporabljajo pri reševanju trigonometričnih enačb.
   • Za pretvorbo dane trigonometrične enačbe v standardne trigonometrične enačbe uporabite standardne algebraične pretvorbe (faktorizacija, skupni faktor, polinomi ...), definicije in lastnosti trigonometričnih funkcij in trigonometrične identitete. Obstaja približno 31, od tega 14 trigonometričnih identitet, od 19 do 31, imenovane tudi transformacijske identitete, ker se uporabljajo pri pretvorbi trigonometričnih enačb. Glej zgornjo knjigo.
   • Primer 5: Trigonometrično enačbo: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 lahko pretvorimo v zmnožek osnovnih trigonometričnih enačb z uporabo trigonometričnih identitet: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Osnovne trigonometrične enačbe, ki jih je treba rešiti, so: cos x = 0; greh (3x / 2) = 0; in cos (x / 2) = 0.
4. Poiščite krivulje, za katere so znane trigonometrične funkcije.
   • Preden se naučite reševati trigonometrične enačbe, morate vedeti, kako hitro najti krivulje, za katere so znane trigonometrične funkcije. Vrednosti pretvorbe krivulj (ali kotov) lahko določimo s trigonometričnimi tabelami ali kalkulatorjem.
   • Primer: Rešite za cos x = 0,732. Kalkulator daje rešitev x = 42,95 stopinj. Enotni krog daje druge krivulje z enako vrednostjo za kosinus.
5. Na krogu enote nariši lok odgovora.
   • Ustvarite lahko graf za ponazoritev rešitve na krogu enote. Končne točke teh krivulj so pravilni mnogokotniki na trigonometričnem krogu. Nekaj ​​primerov:
   • Končne točke krivulje x = Pi / 3 + k. Pi / 2 je kvadrat na krogu enote.
   • Krivulje x = Pi / 4 + k.Pi / 3 so predstavljene s koordinatami šesterokotnika na enotni krožnici.
6. Naučite se reševati trigonometrične enačbe.
   • Če podana trigonometrična enačba vsebuje samo eno trigonometrično funkcijo, jo rešite kot standardno trigonometrično enačbo. Če dana enačba vsebuje dve ali več trigonometričnih funkcij, obstajata 2 rešitveni metodi, odvisno od možnosti pretvorbe enačbe.
     • A. Metoda 1.
   • Pretvorite trigonometrično enačbo v zmnožek v obliki: f (x) .g (x) = 0 ali f (x) .g (x) .h (x) = 0, kjer je f (x), g (x) in h (x) sta osnovni trigonometrični enačbi.
   • Primer 6. Rešitev: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Rešitev. Zamenjajte sin 2x v enačbi z uporabo identitete: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Nato rešite 2 standardni trigonometrični funkciji: cos x = 0 in (sin x + 1) = 0.
   • Primer 7. Rešitev: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Rešitev: Pretvorite to v izdelek z uporabo trigonometričnih identitet: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos 2x = 0 in (2cos x + 1) = 0.
   • Primer 8. Reši: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Rešitev: Pretvorite to v izdelek z uporabo trigonometričnih identitet: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos 2x = 0 in (2sin x + 1) = 0.
     • B. Pristop 2.
   • Pretvori trig enačbo v trig enačbo s samo eno edinstveno funkcijo trig kot spremenljivko. Obstaja nekaj nasvetov, kako izbrati primerno spremenljivko. Pogoste spremenljivke so: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t in tan (x / 2) = t.
   • Primer 9. Reši: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Rešitev. V enačbi zamenjajte (cos ^ 2x) z (1 - sin ^ 2x) in poenostavite enačbo:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Zdaj uporabite sin x = t. Enačba postane: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. To je kvadratna enačba z dvema koreninama: t1 = -1 in t2 = 9/5. Drugi t2 lahko zavrnemo, ker> 1. Zdaj rešimo za: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Primer 10. Reši: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Rešitev. Uporabite tan x = t. Pretvori dano enačbo v enačbo s t kot spremenljivko: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Za ta izdelek reši t, nato reši standardno trigonometrično enačbo tan x = t za x.
7. Rešite posebne trigonometrične enačbe.
   • Obstaja nekaj posebnih trigonometričnih enačb, ki zahtevajo določene pretvorbe. Primeri:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Spoznajte periodične lastnosti trigonometričnih funkcij.
   • Vse trigonometrične funkcije so periodične, kar pomeni, da se po rotaciji skozi obdobje vrnejo na isto vrednost. Primeri:
     • Funkcija f (x) = sin x ima kot piko 2Pi.
     • Funkcija f (x) = tan x ima Pi kot piko.
     • Funkcija f (x) = sin 2x ima Pi kot piko.
     • Funkcija f (x) = cos (x / 2) ima 4Pi kot obdobje.
   • Če je obdobje določeno v vajah / preizkusu, potem morate le najti krivuljo (-e) x v tem obdobju.
   • OPOMBA: Reševanje trigonometričnih enačb je zapleteno in pogosto vodi do napak in napak. Zato je treba odgovore natančno preveriti. Po rešitvi lahko odgovore preverite z grafičnim kalkulatorjem za neposreden prikaz dane trigonometrične enačbe R (x) = 0. Odgovori (kot kvadratni koren) so podani v decimalnih mestih. Kot primer ima vrednost Pi 3,14