Vsebina

• Stopati
• 1. del od 4: Priprava matrice
• 2. del 4: Učenje operacij za reševanje sistema z matrico
• 3. del od 4: Združite korake za rešitev galaksije
• 4. del od 4: Preverjanje rešitve
• Nasveti

Matrica je zelo koristen način predstavitve števil v blokovni obliki, ki jo lahko nato uporabite za reševanje sistema linearnih enačb. Če imate samo dve spremenljivki, boste verjetno uporabili drugačno metodo. O tem preberite v Reševanju sistema enačb za primere teh drugih metod. Če pa imate tri ali več spremenljivk, je polje idealno. Z večkratnimi kombinacijami množenja in seštevanja lahko sistematično pridete do rešitve.

Stopati

1. del od 4: Priprava matrice

1. Preverite, ali imate dovolj podatkov. Če želite z matriko dobiti enolično rešitev za vsako spremenljivko v linearnem sistemu, morate imeti toliko enačb kot število spremenljivk, ki jih poskušate rešiti. Na primer: s spremenljivkami x, y in z potrebujete tri enačbe. Če imate štiri spremenljivke, potrebujete štiri enačbe.
   • Če imate enačb manj kot število spremenljivk, boste ugotovili nekatere meje spremenljivk (na primer x = 3y in y = 2z), vendar ne morete dobiti natančne rešitve. V tem članku si bomo prizadevali samo za edinstveno rešitev.
2. Zapišite enačbe v standardni obliki. Preden lahko podatke iz enačb postavite v matrično obliko, vsako enačbo najprej napišete v standardni obliki. Standardna oblika linearne enačbe je Ax + By + Cz = D, kjer so velike črke koeficienti (številke), zadnja številka (D v tem primeru) pa je desno od enačbe.
   • Če imate več spremenljivk, preprosto nadaljujte vrstico toliko časa, kot je potrebno. Če bi na primer poskušali rešiti sistem s šestimi spremenljivkami, bi bila vaša privzeta oblika videti Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. V tem članku se bomo osredotočili na sisteme s samo tremi spremenljivkami. Reševanje večje galaksije je popolnoma enako, vendar le traja več časa in več korakov.
   • Upoštevajte, da je v standardni obliki postopek med izrazi vedno dodatek. Če je v vaši enačbi odštevanje, namesto seštevanja, boste morali s tem kasneje delati tako, da bo vaš koeficient negativen. Da si boste to lažje zapomnili, lahko enačbo prepišete in dodate operacijo ter koeficient negativni. Na primer, enačbo 3x-2y + 4z = 1 lahko prepišete kot 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Števila iz sistema enačb postavite v matriko. Matrica je skupina števil, razporejena v nekakšno tabelo, s katero bomo delali pri reševanju sistema. V osnovi vsebuje enake podatke kot enačbe same, vendar v preprostejši obliki. Če želite matriko enačb narediti v standardni obliki, kopirajte koeficiente in rezultat vsake enačbe v eno vrstico in te vrstice zložite eno na drugo.
   • Recimo, da imate sistem, sestavljen iz treh enačb 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 in x + y + z = 7. Zgornja vrstica vaše matrike bo vsebovala številke 3, 1, -1, 9, saj so to koeficienti in rešitev prve enačbe. Upoštevajte, da ima vsaka spremenljivka, ki nima koeficienta, koeficient 1. Druga vrstica matrike postane 2, -2, 1, -3, tretja vrstica pa 1, 1, 1, 7.
   • Poskrbite, da bodo koeficienti x poravnani v prvem stolpcu, koeficienti y v drugem, koeficienti z v tretjem in izrazi rešitve v četrtem. Ko končate z delom z matrico, bodo ti stolpci pomembni pri pisanju vaše rešitve.
4. Narišite velik oglati oklepaj okrog celotne matrike. Po dogovoru je matrika označena z dvema kvadratnima oklepajema, [], okoli celotnega bloka števil. Oklepaji na noben način ne vplivajo na rešitev, vendar kažejo, da delate z matricami. Matrika je lahko sestavljena iz poljubnega števila vrstic in stolpcev. V tem članku bomo uporabili oklepaje okoli izrazov zapored, da označimo, da spadajo skupaj.
5. Uporaba običajne simbolike. Pri delu z matricami se običajno sklicujemo na vrstice s kratico R in stolpce s kratico C. S številkami lahko skupaj s temi črkami označite določeno vrstico ali stolpec. Na primer, če želite navesti vrstico 1 matrike, lahko napišete R1. Vrstica 2 nato postane R2.
   • Kateri koli poseben položaj v matriki lahko navedete s kombinacijo R in C. Na primer, če želite navesti izraz v drugi vrstici, tretjem stolpcu, bi ga lahko imenovali R2C3.

2. del 4: Učenje operacij za reševanje sistema z matrico

1. Razumevanje oblike matrike raztopine. Preden začnete reševati sistem enačb, morate razumeti, kaj boste storili z matrico. Na tej točki imate matriko, ki je videti takole:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Delate s številnimi osnovnimi operacijami, da ustvarite "matriko rešitev". Matrica rešitve bo videti tako:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 let
   • 0 0 1 z
   • Upoštevajte, da je matrika sestavljena iz 1 v diagonalni črti z 0 v vseh drugih presledkih, razen v četrtem stolpcu. Številke v četrtem stolpcu so rešitev za spremenljivke x, y in z.
2. Uporabite skalarno množenje. Prvo orodje, ki vam je na voljo za reševanje sistema z uporabo matrike, je skalarno množenje. To je preprosto izraz, ki pomeni, da elemente v vrsti matrike pomnožite s konstantnim številom (ne s spremenljivko). Ko uporabljate skalarno množenje, ne pozabite, da morate vsak člen celotne vrstice pomnožiti s poljubnim številom, ki ga izberete. Če pozabite prvi izraz in se samo pomnožite, boste dobili napačno rešitev. Vendar vam ni treba pomnožiti celotne matrice hkrati. Pri skalarnem množenju hkrati delate samo v eni vrstici.
   • Običajno uporabljamo ulomke pri skalarnem množenju, ker pogosto želimo dobiti diagonalno vrstico 1. Navadite se delati z ulomki. Prav tako bo lažje (za večino korakov pri reševanju matrike), če boste lahko svoje frakcije zapisali v neprimerni obliki, nato pa jih za končno rešitev pretvorili nazaj v mešana števila. Zato je s številko 1 2/3 lažje delati, če jo zapišete kot 5/3.
   • Na primer, prva vrstica (R1) našega primera se začne z izrazi [3,1, -1,9]. Matrika raztopine mora na prvem mestu prve vrstice vsebovati 1. Če želimo 3 spremeniti v 1, lahko celotno vrstico pomnožimo z 1/3. Tako nastane novi R1 [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Ne pozabite pustiti negativnih znakov tam, kamor spadajo.
3. Uporabite dodajanje vrstic ali odštevanje vrstic. Drugo orodje, ki ga lahko uporabite, je dodajanje ali odštevanje dveh vrstic matrike. Če želite v matriki rešitev ustvariti 0 izrazov, morate dodati ali odšteti številke, da pridete do 0. Če je na primer R1 matrice [1,4,3,2] in R2 [1,3,5,8], lahko prvo vrstico odštejete od druge vrstice in ustvarite novo vrstico [0, -1, 2,6], ker je 1-1 = 0 (prvi stolpec), 3-4 = -1 (drugi stolpec), 5-3 = 2 (tretji stolpec) in 8-2 = 6 (četrti stolpec). Ko izvajate dodajanje ali odštevanje vrstic, namesto vrstice, s katero ste začeli, prepišite nov rezultat. V tem primeru bi izvlekli vrstico 2 in vstavili novo vrstico [0, -1,2,6].
   • Uporabite lahko okrajšani zapis in to dejanje razglasite kot R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Ne pozabite, da sta seštevanje in odštevanje ravno nasprotni obliki iste operacije. Zamislite si to kot seštevanje dveh številk ali odštevanje nasprotnega. Če na primer začnete s preprosto enačbo 3-3 = 0, si lahko to predstavljate kot dodaten problem 3 + (- 3) = 0. Rezultat je enak. To se zdi preprosto, vendar je včasih lažje obravnavati težavo v takšni ali drugačni obliki. Samo pazite na svoje negativne znake.
4. Združite seštevanje vrstic in skalarno množenje v enem koraku. Ne morete pričakovati, da se izrazi vedno ujemajo, zato lahko z enostavnim seštevanjem ali odštevanjem ustvarite 0 v svoji matrici. Pogosteje boste morali dodati (ali odšteti) večkratnik iz druge vrstice. Če želite to narediti, najprej naredite skalarno množenje, nato pa rezultat dodajte ciljni vrstici, ki jo želite spremeniti.
   • Recimo; da obstaja vrstica 1 [1,1,2,6] in vrstica 2 [2,3,1,1]. V prvem stolpcu R2 želite izraz 0. To pomeni, da želite spremeniti 2 v 0. Če želite to narediti, morate odšteti 2. Dva lahko dobite tako, da vrstico 1 najprej pomnožite s skalarnim množenjem 2 in nato od druge vrstice odštejete prvo vrstico. V kratki obliki je to mogoče zapisati kot R2-2 * R1. Najprej pomnožite R1 z 2, da dobite [2,2,4,12]. Nato to odštejte od R2, da dobite [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Poenostavite to in vaš novi R2 bo [0,1, -3, -11].
5. Kopirajte vrstice, ki med delom ostanejo nespremenjene. Med delom na matriki boste spreminjali posamezne vrstice naenkrat s skalarnim množenjem, dodajanjem vrstic ali odštevanjem vrstic ali s kombinacijo korakov. Ko spremenite eno vrstico, kopirajte druge vrstice matrike v prvotni obliki.
   • Pogosta napaka se pojavi pri kombiniranem koraku množenja in seštevanja v enem premiku. Recimo na primer, da morate dvakrat odšteti R1 od R2. Ko za ta korak pomnožite R1 z 2, ne pozabite, da se R1 v matriki ne spremeni. Množenje izvedete samo za spremembo R2. Najprej kopirajte R1 v prvotni obliki, nato spremenite v R2.
6. Najprej delajte od zgoraj navzdol. Če želite rešiti sistem, delate v zelo organiziranem vzorcu, v bistvu "rešite" po en izraz matrike naenkrat. Zaporedje za tri spremenljivko bo videti tako:
   • 1. V prvi vrstici, prvem stolpcu, naredite 1 (R1C1).
   • 2. V drugi vrstici, prvem stolpcu, naredite 0 (R2C1).
   • 3. V drugi vrstici, drugem stolpcu, naredite 1 (R2C2).
   • 4. V tretji vrstici, prvem stolpcu, naredite 0 (R3C1).
   • 5. V tretji vrstici, drugem stolpcu, naredite 0 (R3C2).
   • 6. V tretji vrstici, tretjem stolpcu (R3C3) naredi 1.
7. Delajte od spodaj navzgor. Če ste pravilno naredili korake, ste na polovici rešitve. Imeti morate diagonalno črto 1, pod njo pa 0. Številke v četrtem stolpcu trenutno niso pomembne. Zdaj se vrnete na vrh, kot sledi:
   • Ustvari 0 v drugi vrstici, tretjem stolpcu (R2C3).
   • Ustvari 0 v prvi vrstici, tretjem stolpcu (R1C3).
   • Ustvarite 0 v prvi vrstici, drugem stolpcu (R1C2).
8. Preverite, ali ste ustvarili matriko rešitev. Če je vaše delo pravilno, ste ustvarili matriko rešitev z enotami v diagonalni črti R1C1, R2C2, R3C3 in 0 na drugih položajih prvih treh stolpcev. Številke v četrtem stolpcu so rešitve za vaš linearni sistem.

3. del od 4: Združite korake za rešitev galaksije

1. Začnite s primerom sistema linearnih enačb. Za vajo teh korakov začnimo s sistemom, ki smo ga uporabili prej: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 in x + y + z = 7. Če to zapišete v matriko, imate R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] in R3 = [1,1,1,7].
2. Ustvarite 1 na prvem mestu R1C1. Upoštevajte, da se R1 na tej točki začne s 3. Spremenite jo v 1. To lahko storite s skalarnim množenjem, tako da pomnožite vse štiri izraze R1 s 1/3. V kratici lahko pišete kot R1 * 1/3. To daje nov rezultat za R1, če je R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Kopirajte R2 in R2, nespremenjena, kadar je R2 = [2, -2,1, -3] in R3 = [1,1,1,7].
   • Upoštevajte, da sta množenje in deljenje le obratni funkciji drug drugega. Lahko rečemo, da pomnožimo z 1/3 ali delimo s 3, ne da bi spremenili rezultat.
3. Ustvari 0 v drugi vrstici, prvem stolpcu (R2C1). V tem trenutku je R2 = [2, -2,1, -3]. Če se želite približati matriki rešitev, morate prvi člen spremeniti z 2 na 0. To lahko storite tako, da dvakrat odštejete vrednost R1, saj se R1 začne s 1. Skrajšana operacija R2-2 * R1. Ne pozabite, da R1 ne spremenite, ampak samo delajte z njim. Torej najprej kopirajte R1, če je R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Potem, če podvojite vsak člen R1, dobite 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Na koncu odštejte ta rezultat od prvotnega R2, da dobite novega R2. Delovno po izraz, to odštevanje postane (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Poenostavimo jih na nov R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Upoštevajte, da je prvi izraz 0 (ne glede na vaš cilj).
   • Zapišite vrstico 3 (ki se ni spremenila) kot R3 = [1,1,1,7].
   • Bodite previdni pri odštevanju negativnih števil, da zagotovite, da znaki ostanejo pravilni.
   • Zdaj pa pustimo ulomke v neprimerni obliki. To olajša kasnejše korake rešitve. Ulomke lahko poenostavite v zadnjem koraku problema.
4. Ustvari 1 v drugi vrstici, drugem stolpcu (R2C2). Če želite še naprej oblikovati diagonalno črto 1, morate drugi člen -8/3 pretvoriti v 1. To storite tako, da celotno vrstico pomnožite z recipročno vrednostjo tega števila (-3/8). Simbolično je ta korak R2 * (- 3/8). Nastala druga vrstica je R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Upoštevajte, da če leva polovica vrstice začne spominjati na rešitev z 0 in 1, bo desna polovica morda videti grda z neustreznimi ulomki. Samo pustite jih takšne, kot so za zdaj.
   • Ne pozabite nadaljevati s kopiranjem nedotaknjenih vrstic, tako da je R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] in R3 = [1,1,1,7].
5. Ustvari 0 v tretji vrstici, prvi stolpec (R3C1). Vaš fokus se zdaj premakne v tretjo vrstico, R3 = [1,1,1,7]. Če želite na prvem mestu postaviti 0, morate odšteti 1 od 1, ki je trenutno v tem položaju. Če pogledate navzgor, je na prvem mestu R1 ena 1. Torej morate samo odšteti R1 od R3, da dobite želeni rezultat. Delovni izraz za mandat, to postane (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Te štiri mini naloge lahko nato poenostavimo na novo R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Nadaljujte s kopiranjem vzdolž R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] in R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Ne pozabite, da hkrati spreminjate samo eno vrstico.
6. V tretji vrstici, drugem stolpcu, naredite 0 (R3C2). Ta vrednost je trenutno 2/3, vendar jo je treba pretvoriti v 0. Na prvi pogled je videti, da lahko vrednosti R1 odštejemo z dvojno, saj ustrezni stolpec R1 vsebuje 1/3. Če pa podvojite in odštejete vse vrednosti R1, se spremeni 0 v prvem stolpcu R3, česar ne želite. To bi bil korak nazaj v vaši rešitvi. Torej morate delati z neko kombinacijo R2. Odštevanje 2/3 od R2 ustvari 0 v drugem stolpcu, ne da bi spremenili prvega stolpca. V kratki obliki je to R3-2 / 3 * R2. Posamezni izrazi postanejo (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Poenostavitev nato da R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. V tretji vrstici, tretjem stolpcu (R3C3) ustvarite 1. To je preprosto množenje z vzajemnim številom, ki ga piše. Trenutna vrednost je 42/24, tako da lahko pomnožite s 24/42, da dobite želeno vrednost 1. Upoštevajte, da sta prva dva izraza 0, zato vsako množenje ostane 0. Nova vrednost R3 = [0,0,1,1].
   • Upoštevajte, da se delci, ki so se v prejšnjem koraku zdeli precej zapleteni, že začnejo ločevati.
   • Nadaljujte z R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] in R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Na tej točki imate diagonalo 1 za matriko rešitve. Za iskanje rešitve morate pretvoriti le tri elemente matrike v 0.
8. Ustvari 0 v drugi vrstici, tretjem stolpcu. R2 je trenutno [0,1, -5 / 8,27 / 8], z vrednostjo -5/8 v tretjem stolpcu. Morate ga pretvoriti v 0. To pomeni, da morate izvesti neko operacijo z R3, ki je sestavljena iz seštevanja 5/8. Ker je ustrezni tretji stolpec R3 enak 1, morate pomnožiti vse vrednosti R3 s 5/8 in rezultat dodati R2. Skratka to je R2 + 5/8 * R3. Izraz za izraz je R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). To lahko poenostavimo na R2 = [0,1,0,4].
   • Nato kopirajte R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] in R3 = [0,0,1,1].
9. Ustvari 0 v prvi vrstici, tretjem stolpcu (R1C3). Prva vrstica je trenutno R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. V tretjem stolpcu morate pretvoriti -1/3 v 0 z uporabo kombinacije R3. Ne želite uporabljati R2, ker bi 1 v drugem stolpcu R2 napačno spremenil R1. Torej pomnožite R3 * 1/3 in rezultat dodate v R1. Oznaka za to je R1 + 1/3 * R3. Rezultat izraza izraza je R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). To lahko poenostavite na nov R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Kopirajte nespremenjeni R2 = [0,1,0,4] in R3 = [0,0,1,1].
10. V prvi vrstici, drugem stolpcu (R1C2) naredite 0. Če je vse narejeno pravilno, bi moral biti to zadnji korak. 1/3 v drugem stolpcu morate pretvoriti v 0. To lahko dobite tako, da pomnožite in odštejete R2 * 1/3. Na kratko, to je R1-1 / 3 * R2. Rezultat je R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Poenostavitev nato da R1 = [1,0,0,2].
11. Poiščite matriko rešitve. V tem trenutku bi imeli, če bi šlo vse dobro, tri vrstice R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] in R3 = [0,0,1,1] mora imeti. Upoštevajte, da če to zapišete v blokovno matrično obliko z vrsticami eno nad drugo, imate diagonalo 1 z 0 naprej in vaše rešitve so v četrtem stolpcu. Matrica rešitve mora biti videti tako:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Razumevanje vaše rešitve. Po pretvorbi linearnih enačb v matriko v prvi stolpec daste koeficiente x, koeficiente y v drugi stolpec in koeficiente z v tretji stolpec. Če želite matriko znova prepisati v enačbe, te tri vrstice matrike dejansko pomenijo tri enačbe 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 in 0x + 0y + 1z = 1. Ker lahko prečrtamo 0 izrazov in nam ni treba zapisovati koeficientov 1, te tri enačbe poenostavijo na rešitev, x = 2, y = 4 in z = 1. To je rešitev vašega sistema linearnih enačb.

4. del od 4: Preverjanje rešitve

1. V vsako enačbo vključite rešitve v vsako spremenljivko. Vedno je dobro preveriti, ali je vaša rešitev dejansko pravilna. To naredite tako, da rezultate preizkusite v prvotnih enačbah.
   • Prvotne enačbe za to težavo so bile: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 in x + y + z = 7. Ko spremenljivke zamenjate z njihovimi vrednostmi, ki ste jih našli, dobite 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 in 2 + 4 + 1 = 7.
2. Poenostavite primerjavo. Operacije izvedite v vsaki enačbi v skladu z osnovnimi pravili operacij. Prva enačba poenostavi na 6 + 4-1 = 9 ali 9 = 9. Drugo enačbo lahko poenostavimo na 4-8 + 1 = -3 ali -3 = -3. Zadnja enačba je preprosto 7 = 7.
   • Ker je katera koli enačba poenostavljena na pravi matematični stavek, so vaše rešitve pravilne. Če je katera od rešitev napačna, ponovno preverite svoje delo in poiščite napake. Nekatere pogoste napake se pojavijo, ko se na poti znebite znakov minus ali zmedete množenje in seštevanje ulomkov.
3. Napišite svoje končne rešitve. Za to dano težavo je končna rešitev x = 2, y = 4 in z = 1.

Nasveti

• Če je vaš sistem enačb zelo zapleten in ima veliko spremenljivk, boste morda lahko uporabili grafični kalkulator, namesto da bi delo opravljali ročno. Za informacije o tem se lahko obrnete tudi na wikiHow.