Vsebina

• Stopati
• Metoda 1 od 2: Prva metoda: navzkrižno množenje
• Metoda 2 od 2: Druga metoda: Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) imenovalcev
• Nasveti

Racionalna funkcija je ulomek z eno ali več spremenljivkami v števcu ali imenovalcu. Racionalna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje vsaj en racionalni izraz. Tako kot običajne algebrske enačbe lahko tudi racionalne izraze rešujemo z uporabo enake operacije na obeh straneh enačbe, dokler spremenljivka ni izolirana na eni strani enakovrednega znaka. Dve posebni metodi, navzkrižno množenje in iskanje najmanjšega skupnega večkratnika imenovalcev, sta še posebej koristni za ločevanje spremenljivk in reševanje racionalnih enačb.

Stopati

Metoda 1 od 2: Prva metoda: navzkrižno množenje

1. Če je potrebno, preuredite enačbo, da se prepričate, da je na obeh straneh znaka enak ulomek. Navzkrižno množenje je hitra metoda reševanja racionalnih enačb. Na žalost ta metoda deluje samo za racionalne enačbe, ki imajo natančno en racionalni izraz ali ulomek na obeh straneh enačbe. Če to ne velja za vašo enačbo, potem verjetno potrebujete nekaj algebrskih operacij, da boste izraze postavili na pravo mesto.
   • Na primer, enačbo (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 lahko enostavno pretvorimo v pravilno obliko navzkrižnega množenja, tako da x / (- 2) dodamo na katero koli stran enačbe, tako da je rezultat izgleda takole: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Ne pozabite, da lahko decimalna in cela števila pretvorimo v ulomke tako, da jim damo imenovalec 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, na primer, lahko prepišemo kot (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, kar omogoča uporabo navzkrižnega množenja.
   • Nekaterih racionalnih enačb ni mogoče tako enostavno pretvoriti v pravilno obliko. V teh primerih uporabite metode, pri katerih uporabite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev.
2. Navzkrižno množenje. Križno množenje preprosto pomeni množenje števca enega ulomka z imenovalcem drugega in obratno. Števec ulomka pomnožite levo od enačbe z ulomkom na desni. Ponovite s števcem na desni in imenovalcem ulomka na levi.
   • Množenje navzkrižno deluje v skladu s splošnimi algebrskimi načeli. Racionalne izraze in druge ulomke lahko pretvorimo v pravilna števila z množenjem imenovalcev. V bistvu je navzkrižno množenje priročen stenografski način množenja obeh strani enačbe z obema imenovalcema ulomkov. Ali ne verjamete? Preizkusite - po poenostavitvi boste videli enake rezultate.
3. Izdelka naj bosta enaka drug drugemu. Po navzkrižnem množenju vam ostaneta dva zmnožka. Naj bosta ta dva člana enaka in ju poenostavite, da dobite najpreprostejše izraze na obeh straneh enačbe.
   • Če je bil na primer vaš prvotni racionalni izraz (x + 3) / 4 = x / (- 2), potem po navzkrižnem množenju postane -2 (x + 3) = 4x. To lahko poljubno prepišete kot -2x - 6 = 4x.
4. Reši spremenljivko. Z uporabo algebrskih operacij poiščite vrednost spremenljivke v enačbi. Ne pozabite, če se x pojavlja na obeh straneh enakovrednega znaka, potem z dodajanjem ali odštevanjem x člana zagotovite, da je na eni strani enakovrednega znaka samo x členov.
   • V našem primeru je mogoče obe strani enačbe razdeliti z -2, kar nam daje x + 3 = -2x. Če odštejemo x z obeh strani enačbe, dobimo 3 = -3x. In končno, če delimo obe strani s -3, dobimo -1 = x ali tudi x = -1. Zdaj smo našli x, ki rešuje našo racionalno enačbo.

Metoda 2 od 2: Druga metoda: Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) imenovalcev

1. Razumeti, kdaj je iskanje najmanjšega skupnega večkratnika imenovalcev očitno. Najmanj skupni večkratnik (LCM) imenovalcev lahko uporabimo za poenostavitev racionalnih enačb, kar omogoča iskanje vrednosti njihovih spremenljivk. Iskanje LCM je dobra ideja, če racionalne enačbe ni mogoče enostavno prepisati v obliko, kjer je na vsaki strani znaka enačbe le en ulomek ali racionalen izraz. Za reševanje racionalnih enačb s tremi členi ali več so LCM koristno orodje. Toda pri reševanju racionalnih enačb s samo dvema člankoma je navzkrižno množenje pogosto hitrejše.
2. Preuči imenovalec vsakega ulomka. Poiščite najmanjše število, ki je popolnoma deljivo s katerim koli imenovalcem. To je LCM vaše enačbe.
   • Včasih je takoj očiten najmanj pogost večkratnik - najmanjše število, ki je popolnoma deljivo z vsakim imenovalcem. Če je na primer vaš izraz videti kot x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, potem je lahko videti, da mora biti LCM deljiv s 3, 2 in 6 in tako enak 6.
   • Toda pogosteje LCM racionalne primerjave sploh ni takoj jasen. V teh primerih poskusite z večkratniki največjega imenovalca, dokler ne najdete števila, ki vključuje večkratnike drugih, manjših imenovalcev. LCM je pogosto produkt dveh imenovalcev. Na primer, vzemimo enačbo x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, kjer je LCM enaka 8 * 9 = 72.
   • Če eden ali več imenovalcev vsebuje spremenljivko, bo ta postopek nekoliko težji, vendar nikakor ni nemogoč. V teh primerih je LCM izraz (s spremenljivkami), ki popolnoma ustreza vsem imenovalcem, ne le enemu številu. Kot primer je enačba 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), kjer je LCM enaka 3x (x-1), ker je popolnoma deljiva s katerim koli imenovalcem - delitvijo z (x- 1 ) daje 3x, delitev s 3x donosi (x-1), delitev z x pa 3 (x-1).
3. Vsak ulomek v racionalni enačbi pomnožimo z 1. Množenje vsakega izraza z 1 se morda zdi neuporabno, vendar tu obstaja trik. Namreč 1 lahko zapišemo kot ulomek - npr. 2/2 in 3/3. Vsak ulomek v svoji racionalni enačbi pomnožite z 1 in vsakič zapišite 1 kot število ali izraz, pomnožen z vsakim imenovalcem, da dobite LCM kot ulomek.
   • V našem primeru lahko pomnožimo x / 3 z 2/2, da dobimo 2x / 6 in pomnožimo 1/2 s 3/3, da dobimo 3/6. 3x +1/6 ima že imenovalec 6 (lcm), zato ga lahko pomnožimo z 1/1 ali pa ga preprosto pustimo.
   • V našem primeru s spremenljivkami v imenovalcih je celoten postopek nekoliko bolj zapleten. Ker je LCM enak 3x (x-1), pomnožimo vsak racionalni izraz z ulomkom, ki daje 3x (x-1) kot imenovalec. 5 / (x-1) pomnožimo s (3x) / (3x) in tako dobimo 5 (3x) / (3x) (x-1), 1 / x pomnožimo s 3 (x-1) / 3 (x -1) in to daje 3 (x-1) / 3x (x-1) in pomnožimo 2 / (3x) z (x-1) / (x-1) in to končno da 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Poenostavite in rešite x. Zdaj, ko ima vsak člen v vaši racionalni enačbi enak imenovalec, je mogoče imenovalce izločiti iz enačbe in rešiti števce. Preprosto pomnožite obe strani enačbe z LCM, da se znebite imenovalcev, tako da vam ostanejo samo števci. Zdaj je postala običajna enačba, ki jo lahko spremenljivko rešite tako, da jo izolirate na eni strani enačbe.
   • V našem primeru po množenju z uporabo 1 kot ulomka dobimo 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Dva ulomka lahko dodamo, če imata enak imenovalec, zato lahko to enačbo zapišemo kot (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, ne da bi spremenili njeno vrednost. Pomnožite obe strani s 6, da izbrišete imenovalce, tako da ostane 2x + 3 = 3x + 1. Tu odštejemo 1 z obeh strani, da ostane 2x + 2 = 3x, in odštejemo 2x z obeh strani, da ostane 2 = x, kar lahko nato zapišemo tudi kot x = 2.
   • V našem primeru s spremenljivkami v imenovalcih je enačba po pomnožitvi vsakega izraza z "1" enaka 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Množenje vsakega izraza z LCM omogoča preklic imenovalcev, kar nam zdaj da 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). V nadaljevanju to postane 15x = 3x - 3 + 2x -2, kar lahko ponovno poenostavimo kot 15x = x - 5. Če odštejemo x z obeh strani, dobimo 14x = -5, tako da lahko končni odgovor poenostavimo na x = - 5/14.

Nasveti

• Ko najdete vrednost spremenljivke, preverite svoj odgovor tako, da to vrednost vnesete v prvotno enačbo. Če dobite vrednost spremenljivke pravilno, bi morali enačbo poenostaviti na preprost, pravilen izrek, na primer 1 = 1.
• Vsako enačbo lahko zapišemo kot racionalen izraz; samo postavite ga kot števec nad imenovalcem 1. Enačbo x + 3 lahko zapišemo kot (x + 3) / 1, obe imata enako vrednost.