Vsebina

• Koraki
• Metoda 1 od 3: Kako najti neznano stran
• Metoda 2 od 3: Iskanje neznanega kota
• Metoda 3 od 3: vzorčne težave
• Nasveti

Kosinusni izrek se pogosto uporablja v trigonometriji. Uporablja se pri delu z nepravilnimi trikotniki za iskanje neznanih količin, kot so stranice in koti. Izrek je podoben pitagorejskemu izreku in si ga je dokaj enostavno zapomniti. Kosinusni izrek pravi, da v vsakem trikotniku ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Koraki

Metoda 1 od 3: Kako najti neznano stran

1. 1 Zapišite znane vrednosti. Če želite najti neznano stran trikotnika, morate poznati drugi dve strani in kot med njima.
   • Na primer, glede na trikotnik XYZ. Stran YX je 5 cm, stran YZ je 9 cm, kot Y pa 89 °. Kaj je stran XZ?
2. 2 Zapišite formulo kosinusnega izreka. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kje ${ displaystyle c}$ - neznana stranka, ${ displaystyle cos {C}}$ - kosinus kota nasproti neznane strani, ${ displaystyle a}$ in ${ displaystyle b}$ - dve dobro znani plati.
3. 3 Znane vrednosti vključite v formulo. Spremenljivke ${ displaystyle a}$ in ${ displaystyle b}$ označujeta dve znani plati. Spremenljivka ${ displaystyle C}$ je znan kot, ki leži med stranicama ${ displaystyle a}$ in ${ displaystyle b}$.
   • V našem primeru stran XZ ni znana, zato jo v formuli označimo kot ${ displaystyle c}$... Ker sta strani YX in YZ znani, ju označimo s spremenljivkami ${ displaystyle a}$ in ${ displaystyle b}$... Spremenljivka ${ displaystyle C}$ je kot Y. Torej bo formula zapisana na naslednji način: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Poiščite kosinus znanega kota. To naredite s kalkulatorjem. Vnesite vrednost kota in kliknite ${ displaystyle COS}$... Če nimate znanstvenega kalkulatorja, poiščite na primer spletno tabelo kosinusov, na primer tukaj. Tudi v Yandexu lahko vnesete "kosinus X stopinj" (vrednost kota nadomestite z X), iskalnik pa prikaže kosinus kota.
   • Na primer, kosinus je 89 ° ≈ 0,01745. Torej: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Pomnožite številke. Pomnožite ${ displaystyle 2ab}$ po kosinusu znanega kota.
   • Na primer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Zložite kvadratke znanih strani. Ne pozabite, da je za kvadratno število potrebno pomnožiti samo s seboj. Najprej uokvirite ustrezna števila in nato dodajte nastale vrednosti.
   • Na primer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Odštejte dve številki. Boste našli ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Na primer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Vzemite kvadratni koren te vrednosti. Če želite to narediti, uporabite kalkulator. Tako odkrijete neznano stran.
   • Na primer:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Neznana stran je torej 10,2191 cm.

Metoda 2 od 3: Iskanje neznanega kota

1. 1 Zapišite znane vrednosti. Če želite najti neznani kot trikotnika, morate poznati vse tri strani trikotnika.
   • Na primer, glede na trikotnik RST. Stran CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Poiščite vrednost kota S.
2. 2 Zapišite formulo kosinusnega izreka. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kje ${ displaystyle cos {C}}$ - kosinus neznanega kota, ${ displaystyle c}$ - znana stran nasproti neznanega vogala, ${ displaystyle a}$ in ${ displaystyle b}$ - dve drugi slavni zabavi.
3. 3 Poiščite vrednosti a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} in c{ displaystyle c}. Nato jih vključite v formulo.
   • Na primer, stran RT je nasproti neznanega kota S, zato je stran RT ${ displaystyle c}$ v formuli. Druge stranke bodo ${ displaystyle a}$ in ${ displaystyle b}$... Tako bo formula zapisana na naslednji način: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Pomnožite številke. Pomnožite ${ displaystyle 2ab}$ po kosinusu neznanega kota.
   • Na primer, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Pokončno c{ displaystyle c} na kvadratu. Se pravi, pomnožite samo število.
   • Na primer, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Zložite kvadratke a{ displaystyle a} in b{ displaystyle b}. Najprej pa kvadrat ustrezne številke.
   • Na primer:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izolirajte kosinus neznanega kota. Če želite to narediti, odštejte znesek ${ displaystyle a ^ {2}}$ in ${ displaystyle b ^ {2}}$ z obeh strani enačbe. Nato razdelite vsako stran enačbe s faktorjem pri kosinusu neznanega kota.
   • Na primer, če želite izolirati kosinus neznanega kota, odštejte 164 od obeh strani enačbe in nato vsako stran razdelite na -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Izračunajte inverzni kosinus. To bo ugotovilo vrednost neznanega kota. Na kalkulatorju je označena inverzna kosinusna funkcija ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Na primer, arccosin 0,0125 je 82,8192. Kot S je torej 82,8192 °.

Metoda 3 od 3: vzorčne težave

1. 1 Poiščite neznano stran trikotnika. Znani strani sta 20 cm in 17 cm, kot med njima pa je 68 °.
   • Ker imate dve strani in kot med njima, lahko uporabite kosinusni izrek. Zapišite formulo: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Neznana stran je ${ displaystyle c}$... Znane vrednosti vključite v formulo: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Izračunaj ${ displaystyle c ^ {2}}$ob upoštevanju vrstnega reda matematičnih operacij:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Vzemite kvadratni koren obeh strani enačbe. Tako najdete neznano stran:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Neznana stran je torej 20,8391 cm.
2. 2 Poiščite kot H v trikotniku GHI. Dve strani, ki mejijo na vogal H, sta 22 in 16 cm, stran nasproti kota H pa 13 cm.
   • Ker so podane vse tri strani, se lahko uporabi kosinusni izrek. Zapišite formulo: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Stran nasproti neznanega vogala je ${ displaystyle c}$... Znane vrednosti vključite v formulo: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Poenostavite nastali izraz:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Izolirajte kosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Poiščite inverzni kosinus. Tako izračunate neznani kot:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Tako je kot H 35,7985 °.
3. 3 Poišči dolžino poti. Rečne, hribovske in močvirne poti tvorijo trikotnik. Dolžina rečne poti je 3 km, dolžina hribovske poti je 5 km; te poti se med seboj križajo pod kotom 135 °. Močvarna pot povezuje oba konca drugih poti. Poiščite dolžino močvirne poti.
   • Poti tvorijo trikotnik. Morate najti dolžino neznane poti, ki je stranica trikotnika. Ker sta podani dolžini drugih dveh poti in kot med njima, se lahko uporabi kosinusni izrek.
   • Zapišite formulo: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Neznana pot (močvirje) bo označena kot ${ displaystyle c}$... Znane vrednosti vključite v formulo: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Izračunaj ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21,2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55,2132}$
   • Vzemite kvadratni koren obeh strani enačbe. Tako najdete dolžino neznane poti:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Tako je dolžina močvirne poti 7.4306 km.

Nasveti

• Lažje je uporabiti sinusni izrek. Zato najprej ugotovite, ali ga je mogoče uporabiti za dano težavo.