Vsebina

• Koraki
• Nasveti

Racionalna funkcija ima obliko y = N (x) / D (x), kjer sta N in D polinoma. Za natančno načrtovanje take funkcije potrebujete dobro poznavanje algebre, vključno z diferencialnimi izračuni. Razmislite o naslednjem primeru: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Koraki

1. 1 Poiščite y-presek grafa. Če želite to narediti, v funkcijo nadomestite x = 0 in dobite y = 5/2. Tako ima presečišče grafa z osjo Y koordinate (0, 5/2).To točko postavite na koordinatno ravnino.
2. 2 Poiščite vodoravne asimptote. Številčnik razdelite na imenovalec (v stolpcu), da določite vedenje "y" z vrednostmi "x", ki se nagibajo k neskončnosti. V našem primeru bo delitev y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Za velike pozitivne ali negativne vrednosti "x" 17 / (8x + 4) teži k ničli in graf se približuje ravni črti, ki jo poda funkcija y = (1/2)x - (7/4). S črtkano črto narišite to funkcijo.
   • Če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, števca ne morete deliti z imenovalcem in asimptoto bo opisala funkcija ob = 0.
   • Če je stopnja števca enaka stopnji imenovalec, potem je asimptota vodoravna črta, ki je enaka razmerju koeficientov pri "x" v najvišji stopnji.
   • Če je stopnja števca za 1 večja od stopnje imenovalca, potem je asimptota nagnjena ravna črta, katere naklon je enak razmerju koeficientov pri "x" do najvišje stopnje.
   • Če je stopnja števca večja od stopnje imenovalca za 2, 3 itd., Potem za velike vrednosti |NS| pomen ob nagibajo k neskončnosti (pozitivni ali negativni) v obliki kvadrata, kubika ali druge stopnje polinoma. V tem primeru vam najverjetneje ni treba zgraditi natančnega grafa funkcije, dobljene z delitvijo števca na imenovalec.
3. 3 Poiščite ničle funkcije. Racionalna funkcija ima nič, če je njen števec nič, to je N (NS) = 0. V našem primeru 2x - 6x + 5 = 0. Diskriminator te kvadratne enačbe: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Ker je diskriminator negativen, potem N (NS), torej F (NS) nima pravih korenin. Graf racionalne funkcije ne seka osi X. Če ima funkcija ničle (korenine), jih postavite na koordinatno ravnino.
4. 4 Poiščite navpične asimptote. Če želite to narediti, imenovalnik nastavite na nič. V našem primeru 4x + 2 = 0 in NS = -1/2. Načrtajte navpično asimptoto s črtkano črto. Če za neko vrednost NS N (NS) = 0 in D (NS) = 0, potem vertikalna asimptota obstaja ali pa ne obstaja (to je redek primer, vendar si je bolje zapomniti).
5. 5 Oglejte si preostanek števca, deljen z imenovalcem. Je pozitiven, negativen ali nič? V našem primeru je preostanek 17, kar je pozitivno. Imenovalec 4x + 2 pozitivno desno od navpične asimptote in negativno levo od nje. To pomeni, da graf racionalne funkcije za velike pozitivne vrednosti NS se približuje asimptoti od zgoraj in za velike negativne vrednosti NS - od spodaj. Od 17./ (8x + 4) nikoli ni enaka nič, potem graf te funkcije nikoli ne bo presekal ravne črte, ki jo določa funkcija ob = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Poiščite lokalne skrajnosti. Lokalni ekstrem obstaja za N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0. V našem primeru je N ’(x) = 4x - 6 in D '(x) = 4. N ’(x) D (x) - N (x) D '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Če rešite to enačbo, ugotovite, da x = 3/2 in x = -5/2. (To niso povsem natančne vrednosti, vendar so primerne za naš primer, ko superpreciznost ni potrebna.)
7. 7 Poiščite vrednost ob za vsak lokalni ekstrem. Če želite to narediti, zamenjajte vrednosti NS v prvotno racionalno funkcijo. V našem primeru je f (3/2) = 1/16 in f (-5/2) = -65/16. Na koordinatni ravnini odstavite točke (3/2, 1/16) in (-5/2, -65/16). Ker izračuni temeljijo na približnih vrednostih (iz prejšnjega koraka), tudi najmanjša in najvišja ugotovljena vrednost nista povsem točni (verjetno pa zelo blizu natančnim vrednostim). (Točka (3/2, 1/16) je zelo blizu lokalnega minimuma. Od tretjega koraka vemo, da ob vedno pozitivno za NS> -1/2 in ugotovili smo majhno vrednost (1/16); zato je vrednost napake v tem primeru izredno majhna.)
8. 8 Povežite točke v teku in graf gladko razširite na asimptote (ne pozabite na pravilno smer grafa, ki se približuje asimptotam). Ne pozabite, da graf ne sme prečkati osi X (glejte korak 3). Graf se tudi ne seka z vodoravno in navpično asimptoto (glej korak 5). Smer grafikona ne spreminjajte razen na skrajnih točkah, ki ste jih našli v prejšnjem koraku.

Nasveti

• Če ste zgoraj navedene korake upoštevali natančno, potem ni treba izračunati drugih derivatov (ali podobnih kompleksnih količin), da preizkusite svojo rešitev.
• Če vam vrednosti količin ni treba izračunati, lahko iskanje lokalnih skrajnosti nadomestite z izračunom nekaj dodatnih parov koordinat (NS, ob) med vsakim parom asimptot. Poleg tega, če vam ni vseeno, kako opisana metoda deluje, potem se ne čudite, zakaj ne morete najti izpeljanke in rešiti enačbe N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0.
• V nekaterih primerih boste morali delati z polinomi višjega reda. Če ne najdete natančne rešitve z uporabo faktorizacije, formul itd., Ocenite možne rešitve z uporabo numeričnih metod, kot je Newtonova metoda.
• V redkih primerih ima števec in imenovalec skupen spremenljiv faktor. V skladu z opisanimi koraki bo to vodilo v nič in navpično asimptoto na istem mestu. Vendar to ni mogoče, razlaga pa je ena od naslednjih:
  • Nič v N (NS) ima večjo množico kot nič v D (NS). Graf F (NS) na tej točki teži k ničli, vendar tam ni opredeljena. To označite tako, da okoli točke narišete krog.
  • Nič v N (NS) in nič v D (NS) imajo enako množico. Graf se pri tej vrednosti približa neki točki, ki ni nič NSvendar v njem ni opredeljeno. To označite tako, da okoli točke narišete krog.
  • Nič v N (NS) ima nižjo množico kot nič v D (NS). Tu je navpična asimptota.