Vsebina

• Predhodne informacije
• Koraki
• 1. del 3: Osnove
• 2. del 3: Lastnosti Laplaceove transformacije
• 3. del 3: Iskanje Laplaceove transformacije s širitvijo serije

Laplaceova transformacija je integralna transformacija, ki se uporablja za reševanje diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti. Ta preobrazba se pogosto uporablja v fiziki in inženiringu.

Čeprav lahko uporabite ustrezne tabele, je koristno razumeti Laplaceovo transformacijo, tako da lahko to storite sami, če je potrebno.

Predhodne informacije

• Dobila funkcijo ${ displaystyle f (t)}$opredeljeno za ${ displaystyle t geq 0.}$ Potem Laplaceova transformacija funkcijo ${ displaystyle f (t)}$ je naslednja funkcija vsake vrednosti ${ displaystyle s}$, pri katerem integral konvergira:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplaceova transformacija prevzame funkcijo od t-regije (časovno lestvico) do s-regije (transformacijsko območje), kjer ${ displaystyle Ž (i)}$ je kompleksna funkcija kompleksne spremenljivke. Omogoča vam, da funkcijo premaknete na območje, kjer je lažje najti rešitev.
• Očitno je Laplaceova transformacija linearni operater, zato lahko, če imamo opravka z vsoto izrazov, vsak integral izračunamo ločeno.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Ne pozabite, da Laplaceova transformacija deluje le, če integral konvergira. Če funkcija ${ displaystyle f (t)}$ ima prekinitve, je treba biti previden in pravilno postaviti meje integracije, da se izognemo negotovosti.

Koraki

1. del 3: Osnove

1. 1 Funkcijo zamenjajte z Laplaceovo formulo za pretvorbo. Teoretično je Laplaceovo preoblikovanje funkcije zelo enostavno izračunati. Kot primer razmislite o funkciji ${ displaystyle f (t) = e ^ {pri}}$, kje ${ displaystyle a}$ je kompleksna konstanta s ${ displaystyle operatername {Re} (s) ime operaterja {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Ocenite integral z uporabo razpoložljivih metod. V našem primeru je ocena zelo preprosta in jo lahko dobite s preprostimi izračuni. V bolj zapletenih primerih bodo morda potrebne bolj zapletene metode, na primer integracija po delih ali razlikovanje pod integralnim znakom. Pogoj omejitve ${ displaystyle ime operaterja {Re} (s) ime operaterja {Re} (a)}$ pomeni, da integral konvergira, to pomeni, da njegova vrednost teži k 0 as ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {poravnano}}}$
   • Upoštevajte, da nam to daje dve vrsti Laplaceove transformacije, s sinusom in kosinusom, saj po Eulerjevi formuli ${ displaystyle e ^ {iat}}$... V tem primeru v imenovalcu dobimo ${ displaystyle s-ia,}$ in le še določiti resnične in namišljene dele. Rezultat lahko ocenite tudi neposredno, vendar bo to trajalo malo dlje.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos pri } = ime operaterja {Re} levo ({ frac {1} {s-ia}} desno) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin pri } = ime operaterja {Im} levo ({ frac {1} {s-ia}} desno) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Razmislite o Laplaceovi transformaciji močne funkcije. Najprej morate definirati transformacijo funkcije moči, saj lastnost linearnosti omogoča iskanje transformacije za od vseh polinomi. Funkcija oblike ${ displaystyle t ^ {n},}$ kje ${ displaystyle n}$ - poljubno pozitivno število. Lahko se integrira kos po kos, da se določi rekurzivno pravilo.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ta rezultat je izražen implicitno, če pa zamenjate več vrednosti ${ displaystyle n,}$ lahko vzpostavite določen vzorec (poskusite to narediti sami), kar vam omogoča, da dobite naslednji rezultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Z uporabo gama funkcije lahko definirate tudi Laplaceovo transformacijo delnih moči. Na primer, na ta način najdete transformacijo funkcije, kot je npr ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {{Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac {{ sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Čeprav morajo imeti funkcije z delnimi močmi reze (ne pozabite, vsa kompleksna števila ${ displaystyle z}$ in ${ displaystyle alpha}$ lahko zapišemo kot ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, zaradi ${ displaystyle e ^ { alpha ime operaterja {Dnevnik} z}}$), jih je vedno mogoče opredeliti tako, da rezi ležijo v levi polravnini in se tako izognemo težavam z analitičnostjo.

2. del 3: Lastnosti Laplaceove transformacije

1. 1 Poiščimo Laplaceovo transformacijo funkcije, pomnoženo s eat{ displaystyle e ^ {at}}. Rezultati, pridobljeni v prejšnjem razdelku, so nam omogočili, da smo izvedeli nekaj zanimivih lastnosti Laplaceove transformacije. Zdi se, da je Laplaceova transformacija funkcij, kot so kosinus, sinus in eksponentna funkcija, enostavnejša od transformacije funkcije moči. Množenje za ${ displaystyle e ^ {at}}$ v t-regiji ustreza premik v s-regiji:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Ta lastnost vam takoj omogoča, da najdete transformacijo funkcij, kot so ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ne da bi morali izračunati integral:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Poiščimo Laplaceovo transformacijo funkcije, pomnoženo s tn{ displaystyle t ^ {n}}. Najprej razmislite o množenju z ${ displaystyle t}$... Po definiciji lahko funkcijo ločimo pod integral in dobimo presenetljivo preprost rezultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { delno} { delno s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {poravnano}}}$
   • Če ponovimo to operacijo, dobimo končni rezultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Čeprav prerazporeditev operaterjev integracije in diferenciacije zahteva nekaj dodatne utemeljitve, je tukaj ne bomo predstavili, temveč le opazili, da je ta operacija pravilna, če je končni rezultat smiseln. Upoštevate lahko tudi dejstvo, da so spremenljivke ${ displaystyle s}$ in ${ displaystyle t}$ niso odvisni drug od drugega.
   • S tem pravilom je enostavno najti preoblikovanje funkcij, kot so ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, brez ponovne integracije po delih:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac {{mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Poiščite Laplaceovo transformacijo funkcije f(at){ displaystyle f (pri)}. To lahko preprosto storite tako, da spremenljivko zamenjate z u z definicijo transformacije:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = pri & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F levo ({ frac {s} {a}} desno) end {poravnano}}}$
   • Zgoraj smo našli Laplaceovo preoblikovanje funkcij ${ displaystyle greh pri}$ in ${ displaystyle cos at}$ neposredno iz eksponentne funkcije. S to lastnostjo lahko dobite enak rezultat, če najdete prave in namišljene dele ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Poiščite Laplaceovo transformacijo izpeljane f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Za razliko od prejšnjih primerov, v tem primeru moram integrirajte kos po kos:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {poravnano}}}$
   • Ker se drugi izpeljanka pojavlja pri številnih fizičnih težavah, najdemo tudi zanjo Laplaceovo transformacijo:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • V splošnem primeru je Laplaceova transformacija derivata n -tega reda opredeljena na naslednji način (to omogoča reševanje diferencialnih enačb z uporabo Laplaceove transformacije):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3. del 3: Iskanje Laplaceove transformacije s širitvijo serije

1. 1 Poiščimo Laplaceovo transformacijo za periodično funkcijo. Periodična funkcija izpolnjuje pogoj ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ kje ${ displaystyle T}$ je obdobje funkcije in ${ displaystyle n}$ je pozitivno celo število. Periodične funkcije se pogosto uporabljajo v številnih aplikacijah, vključno z obdelavo signalov in elektrotehniko. S preprostimi transformacijami dobimo naslednji rezultat:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { poravnano}}}$
   • Kot lahko vidite, v primeru periodične funkcije zadostuje izvedba Laplaceove transformacije za eno obdobje.
2. 2 Izvedite Laplaceovo pretvorbo za naravni logaritem. V tem primeru integrala ni mogoče izraziti v obliki osnovnih funkcij. Z uporabo gama funkcije in njene razširitve serije lahko ocenite naravni logaritem in njegove stopinje. Prisotnost Euler-Mascheronijeve konstante ${ displaystyle gama}$ kaže, da je za oceno tega integrala potrebno uporabiti razširitev niza.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gama + ln s} {s}}}$
3. 3 Razmislite o Laplaceovi transformaciji nesnormalizirane sinc funkcije. Funkcija ${ displaystyle ime operaterja {sinc} (t) = { frac {{sin t} {t}}}$ široko uporablja za obdelavo signalov, v diferencialnih enačbah je enakovredna sferični Besselovi funkciji prve vrste in ničelnega reda ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Laplaceove transformacije te funkcije prav tako ni mogoče izračunati s standardnimi metodami. V tem primeru se izvede transformacija posameznih članov niza, ki so močnostne funkcije, zato se njihove transformacije nujno zbližajo v danem intervalu.
   • Najprej zapišemo razširitev funkcije v Taylorjevo vrsto:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Zdaj uporabljamo že znano Laplaceovo transformacijo funkcije moči. Faktorji se prekličejo in posledično dobimo Taylorjevo razširitev za arktangenso, to je izmenično serijo, ki po sinusu spominja na Taylorjevo serijo, vendar brez faktorjev:
     • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {poravnano}}}$