Vsebina

• Koraki
• 1. del 2: Osnove
• 2. del 2: Razširjena matrična transformacija za reševanje SLAE
• Nasveti

Sistem enačb je niz dveh ali več enačb, ki imajo skupen niz neznank in zato skupno rešitev. Graf sistema linearnih enačb sta dve ravni črti, rešitev sistema pa je presečišče teh ravnih črt. Za reševanje takšnih sistemov linearnih enačb je koristno in priročno uporabiti matrice.

Koraki

1. del 2: Osnove

1. 1 Terminologija. Sistemi linearnih enačb so sestavljeni iz različnih komponent. Spremenljivka je označena z abecednim znakom (običajno x ali y) in pomeni številko, ki je še ne poznate in jo morate najti. Konstanta je določeno število, ki ne spremeni svoje vrednosti.Koeficient je število pred spremenljivko, to je število, s katerim se spremenljivka pomnoži.
   • Na primer, za linearno enačbo sta 2x + 4y = 8, x in y spremenljivke, 8 je konstanta, številki 2 in 4 pa sta koeficienta.
2. 2 Obrazec za sistem linearnih enačb. Sistem linearnih algebrskih enačb (SLAE) z dvema spremenljivkama lahko zapišemo na naslednji način: ax + by = p, cx + dy = q. Vsaka konstanta (p, q) je lahko nič, vendar mora enačba vsebovati vsaj eno spremenljivko (x, y).
3. 3 Matrični izrazi. Vsak SLAE je mogoče zapisati v matrični obliki, nato pa ga z uporabo algebrskih lastnosti matrik rešiti. Pri pisanju sistema enačb v matrični obliki A predstavlja koeficiente matrike, C predstavlja konstantne matrike, X pa neznano matriko.
   • Zgornji SLAE lahko na primer prepišemo v naslednji matrični obliki: A x X = C.
4. 4 Razširjena matrika. Razširjeno matriko dobimo s prenosom matrike prostih izrazov (konstant) na levo stran. Če imate dve matrici, A in C, bo razširjena matrika videti tako:
   • Na primer za naslednji sistem linearnih enačb:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Razširjena matrika bo 2x3 in bo videti tako:

2. del 2: Razširjena matrična transformacija za reševanje SLAE

1. 1 Osnovne operacije. Na matriki lahko izvedete določene operacije in tako dobite matriko, ki je enakovredna prvotni. Takšne operacije imenujemo osnovne. Če želite na primer rešiti matriko 2x3, morate izvesti operacije z vrsticami, da matriko pripeljete v trikotno obliko. Takšne operacije so lahko:
   • permutacija dveh vrstic.
   • množenje niza z ničelnim številom.
   • pomnoži niz in ga doda drugemu.
2. 2 Množenje druge vrstice z ničelnim številom. Če želite nič v drugi vrstici, lahko vrstico pomnožite, da to omogočite.
   • Na primer, če imate takšno matriko:
     
     
     Prvo vrstico lahko obdržite in z njo dobite ničlo v drugi vrstici. Če želite to narediti, morate drugo vrstico pomnožiti z 2:
3. 3 Znova pomnožite. Če želite za prvo vrstico dobiti nič, boste morda morali znova pomnožiti s podobnimi manipulacijami.
   • V zgornjem primeru morate drugo vrstico pomnožiti z -1:
     
     
     Po množenju bo matrika videti tako:
4. 4 Dodajte prvo vrstico drugi. Dodajte vrstice, da dobite ničlo namesto prvega stolpca in druge vrstice.
   • V našem primeru dodajte obe vrstici, da dobite naslednje:
5. 5 Napišite nov sistem linearnih enačb za trikotno matriko. Ko dobite trikotno matriko, se lahko vrnete na SLAE. Prvi stolpec matrice ustreza neznani spremenljivki x, drugi pa neznani spremenljivki y. Tretji stolpec ustreza prestrezanju enačbe.
   • V našem primeru bo nov sistem linearnih enačb imel obliko:
6. 6 Rešite enačbo za eno od spremenljivk. V novem SLAE določite, katero spremenljivko najlažje najdete in rešite enačbo.
   • V našem primeru je bolj priročno reševati od konca, to je od zadnje enačbe do prve, in se premikati od spodaj navzgor. Iz druge enačbe lahko enostavno najdemo rešitev za y, saj smo se znebili x, zato je y = 2.
7. 7 Poiščite drugo neznano z nadomestno metodo. Ko najdete eno od spremenljivk, jo lahko priključite v drugo enačbo, da poiščete drugo spremenljivko.
   • V našem primeru samo zamenjajte y z 2 v prvi enačbi, da poiščete neznanega x:

Nasveti

• Matrični elementi se običajno imenujejo skalarji.
• Če želite rešiti matriko 2x3, morate izvesti osnovne vrstice. Teh operacij ne morete izvesti na stolpcih.