Kako izračunati trenutno hitrost

Vsebina

Koraki
1. del od 3: Izračun trenutne hitrosti
2. del od 3: Grafična ocena trenutne hitrosti
3. del 3: Primeri
Nasveti

Hitrost je hitrost, s katero se predmet premika v določeni smeri. Za splošne namene je iskanje hitrosti predmeta (v) preprosta naloga: razmik (-e) v določenem času (-ih) morate razdeliti na ta čas (t), to je uporabiti formulo v = s / t. Vendar pa na ta način dobimo povprečno telesno hitrost. Z uporabo nekaterih izračunov lahko najdete hitrost telesa na kateri koli točki poti. Ta hitrost se imenuje takojšnja hitrost in se izračuna po formuli v = (ds) / (dt), to je izpeljanka formule za izračun povprečne hitrosti telesa.

Koraki

1. del od 3: Izračun trenutne hitrosti

1 Začnite z enačbo. Za izračun trenutne hitrosti je potrebno poznati enačbo, ki opisuje gibanje telesa (njegov položaj v določenem časovnem trenutku), to je takšno enačbo, na eni strani katere je s (gibanje telesa), na drugi strani pa so izrazi s spremenljivko t (čas). Na primer:
s = -1,5t + 10t + 4
- V tej enačbi:
  Premakni = s... Gibanje je pot, ki jo prevozi objekt. Na primer, če se je telo premaknilo 10 m naprej in 7 m nazaj, je celotno gibanje telesa 10 - 7 = 3 m (in pri 10 + 7 = 17 m).
  Čas = t... Običajno se meri v sekundah.
2 Izračunajte izpeljanko enačbe. Če želite najti trenutno hitrost telesa, katerega premike opisuje zgornja enačba, morate izračunati izpeljanko te enačbe. Izpeljanka je enačba, ki izračuna naklon grafa v kateri koli točki (kadar koli). Če želite poiskati izpeljanko, funkcijo ločite na naslednji način: če je y = a * x, potem izpeljanka = a * n * x... To pravilo velja za vsakega člana polinoma.
- Z drugimi besedami, izpeljanka vsakega izraza s spremenljivko t je enaka produktu faktorja (pred spremenljivko) in moči spremenljivke, pomnoženi s spremenljivko, na moč, ki je enaka prvotni moči minus 1. Brezplačna izraz (izraz brez spremenljivke, to je števila) izgine, ker ga pomnožimo z 0. V našem primeru:
  s = -1,5t + 10t + 4
  (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
  -3t + 10t
  -3t + 10
3 Zamenjajte "s" z "ds / dt", da označite, da je nova enačba izpeljanka prvotne enačbe (to je, s je derivat t). Izpeljanka je naklon grafa na določeni točki (v določenem trenutku). Če želite na primer najti naklon črte s = -1,5t + 10t + 4 pri t = 5, preprosto priključite 5 v enačbo izpeljave.
- V našem primeru bi morala biti enačba izpeljane tako:
  ds / dt = -3t + 10
4 Zamenjajte ustrezno vrednost t v enačbi derivata, da poiščete trenutno hitrost v določenem trenutku. Na primer, če želite najti trenutno hitrost pri t = 5, preprosto priključite 5 (namesto t) v izpeljano enačbo ds / dt = -3 + 10. Nato rešite enačbo:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 m / s
- Bodite pozorni na mersko enoto trenutne hitrosti: m / s. Ker nam je podana vrednost premika v metrih, čas pa je v sekundah, hitrost pa je enaka razmerju premika in časa, je merska enota m / s pravilna.

2. del od 3: Grafična ocena trenutne hitrosti

1 Nariši gibanje telesa. V prejšnjem poglavju ste izračunali trenutno hitrost s formulo (enačba izpeljave, ki vam omogoča, da najdete naklon grafa na določeni točki). Ko ste zgradili graf gibanja telesa, lahko kadar koli najdete njegov naklon in zato določi trenutno hitrost v določenem času.
- Os Y je gibanje, os X pa čas. Koordinate točk (x, y) dobimo tako, da v prvotno enačbo premika nadomestimo različne vrednosti t in izračunamo ustrezne vrednosti s.
- Graf lahko pade pod os X. Če graf gibanja telesa pade pod os X, to pomeni, da se telo giblje v nasprotni smeri od začetne točke gibanja. Graf praviloma ne presega osi Y (negativne vrednosti x)-hitrosti predmetov, ki se premikajo nazaj, ne merimo!
2 Na grafu (krivulja) izberite točko P in točko Q blizu nje. Za iskanje naklona grafa v točki P uporabimo koncept meje. Meja - stanje, v katerem je vrednost sekance, potegnjene skozi 2 točki P in Q, ki leži na krivulji, na nič.
- Razmislite na primer o točkah P (1,3) in Q (4,7) in izračunajte trenutno hitrost v točki P.
3 Poiščite naklon odseka črte PQ. Naklon odseka PQ je enak razmerju razlike v vrednosti koordinat "y" točk P in Q do razlike v vrednosti koordinat "x" točk P in Q. Z drugimi besedami, H = (y_Vprašanje - y_P) / (x_Vprašanje - x_P), kjer je H naklon odseka PQ. V našem primeru je naklon odseka PQ:
H = (y_Vprašanje - y_P) / (x_Vprašanje - x_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
4 Postopek večkrat ponovite in približajte točko Q točki P. Manjša kot je razdalja med dvema točkama, bližje je naklon dobljenih odsekov nagibu grafa v točki P. V našem primeru bomo izvedli izračune za točko Q s koordinatami (2,4,8), (1,5,3,95 ) in (1.25,3.49) (koordinate točke P ostanejo enake):
Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9

Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1.96
5 Manjša je razdalja med točkama P in Q, bližje je vrednost H nagibu grafa v točki P. Z izredno majhno razdaljo med točkama P in Q bo vrednost H enaka naklonu grafa v točki P Ker ne moremo izmeriti ali izračunati izredno majhne razdalje med dvema točkama, grafična metoda poda ocenjeno vrednost naklona grafa v točki P.
- V našem primeru smo pri približevanju Q do P prejeli naslednje vrednosti H: 1,8; 1,9 in 1,96. Ker se te številke nagibajo k 2, lahko rečemo, da je naklon grafa v točki P enak 2.
- Ne pozabite, da je naklon grafa na določeni točki enak izpeljanki funkcije (po kateri je ta graf zgrajen) na tej točki. Graf prikazuje gibanje telesa skozi čas in, kot je navedeno v prejšnjem razdelku, je trenutna hitrost telesa enaka izpeljavi enačbe za gibanje tega telesa. Tako lahko trdimo, da je pri t = 2 trenutna hitrost enaka 2 mps (to je ocena).

3. del 3: Primeri

1 Izračunajte trenutno hitrost pri t = 4, če je gibanje telesa opisano z enačbo s = 5t - 3t + 2t + 9. Ta primer je podoben problemu iz prvega poglavja z edino razliko, da je enačba tretjega reda (ne drugega).
- Najprej izračunamo izpeljanko te enačbe:
  s = 5t - 3t + 2t + 9
  s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
  15t - 6t + 2t - 6t + 2
- Zdaj vrednost t = 4 nadomestimo v enačbo izpeljave:
  s = 15t - 6t + 2
  15(4) - 6(4) + 2
  15(16) - 6(4) + 2
  240 - 24 + 2 = 22 m / s
2 Ocenimo vrednost trenutne hitrosti v točki s koordinatami (1,3) na grafu funkcije s = 4t - t. V tem primeru ima točka P koordinate (1,3) in treba je najti več koordinat točke Q, ki leži blizu točke P. Nato izračunamo H in poiščemo ocenjene vrednosti trenutne hitrosti.
- Najprej poiščite koordinate Q pri t = 2, 1,5, 1,1 in 1,01.
  s = 4t - t
  
  t = 2: s = 4 (2) - (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, torej Q = (2,14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, torej Q = (1,5,7,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
  4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, torej Q = (1,1,3,74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
  4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, torej Q = (1,01,3,0704)
- Zdaj izračunajmo H:
  Q = (2,14): H = (14-3) / (2-1)
  H = (11) / (1) = 11
  
  Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
  H = (4,5) / (. 5) = 9
  
  Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
  H = (.74) / (. 1) = 7.3
  
  Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
  H = (.0704) / (. 01) = 7.04
- Ker dobljene vrednosti H težijo k 7, lahko rečemo, da je trenutna hitrost telesa v točki (1.3) enaka 7 m / s (ocenjena vrednost).

Nasveti

Če želite najti pospešek (sprememba hitrosti skozi čas), uporabite metodo iz prvega dela, da dobite izpeljanko funkcije premika. Nato ponovno vzemite derivat nastalega derivata. Tako boste dobili enačbo za iskanje pospeška v danem trenutku - vse, kar morate storiti, je, da vnesete vrednost za čas.
Enačba, ki opisuje odvisnost y (premik) od x (čas), je lahko zelo preprosta, na primer: y = 6x + 3. V tem primeru je naklon konstanten in za njegovo iskanje vam ni treba vzeti izpeljanke. Po teoriji linijskih grafov je njihov naklon enak koeficientu spremenljivke x, to je v našem primeru = 6.
Gibanje je podobno razdalji, vendar ima določeno smer, zaradi česar je vektorska vrednost. Premik je lahko negativen, razdalja pa le pozitivna.