Vsebina

• Koraki
• Metoda 1 od 3: Kako rešiti kubično enačbo brez stalnega izraza
• Metoda 2 od 3: Kako najti cele korenine z uporabo množiteljev
• Metoda 3 od 3: Kako rešiti enačbo z uporabo diskriminata

V kubični enačbi je najvišji eksponent 3, takšna enačba ima 3 korenine (rešitve) in ima obliko ${ displaystyle sekira ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Nekaterih kubičnih enačb ni tako enostavno rešiti, če pa uporabite pravo metodo (z dobrim teoretičnim ozadjem), lahko najdete korenine tudi najbolj zapletene kubične enačbe - za to uporabite formulo za reševanje kvadratne enačbe, cele korenine ali izračunajte diskriminator.

Koraki

Metoda 1 od 3: Kako rešiti kubično enačbo brez stalnega izraza

1. 1 Ugotovite, ali je v kubični enačbi prosti izraz d{ displaystyle d}. Kubična enačba ima obliko ${ displaystyle sekira ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Da bi enačbo šteli za kubično, zadostuje le izraz ${ displaystyle x ^ {3}}$ (to pomeni, da drugih članov sploh ne sme biti).
   • Če ima enačba prosti izraz ${ displaystyle d}$, uporabite drugo metodo.
   • Če v enačbi ${ displaystyle a = 0}$, ni kubična.
2. 2 Vzemite iz nosilcev x{ displaystyle x}. Ker v enačbi ni prostega izraza, vsak izraz v enačbi vključuje spremenljivko ${ displaystyle x}$... To pomeni tisto ${ displaystyle x}$ se lahko za poenostavitev enačbe izključi iz oklepajev. Tako bo enačba zapisana tako: ${ displaystyle x (sekira ^ {2} + bx + c)}$.
   • Na primer, glede na kubično enačbo ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Vzemite ven ${ displaystyle x}$ oklepajih in dobite ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktor (produkt dveh binom) kvadratna enačba (če je mogoče). Veliko kvadratnih enačb oblike ${ displaystyle sekira ^ {2} + bx + c = 0}$ je mogoče faktoriti. Takšna enačba se bo izkazala, če jo vzamemo ven ${ displaystyle x}$ zunaj nosilcev. V našem primeru:
   • Vzemite iz nosilcev ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktor kvadratne enačbe: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Prilagodite vsak koš ${ displaystyle 0}$... Korenine te enačbe so ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Rešite kvadratno enačbo s posebno formulo. Naredite to, če kvadratne enačbe ni mogoče faktoriti. Za iskanje dveh korenin enačbe, vrednosti koeficientov ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ nadomestek v formuli ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • V našem primeru nadomestite vrednosti koeficientov ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) v formulo:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Prvi koren:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Drugi koren:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Kot rešitve kubične enačbe uporabite ničelne in kvadratne korenine. Kvadratne enačbe imajo dve korenini, kubične pa tri. Dve rešitvi ste že našli - to sta korenini kvadratne enačbe. Če postavite "x" izven oklepajev, bi bila tretja rešitev ${ displaystyle 0}$.
   • Če iz oklepajev vzamete »x«, dobite ${ displaystyle x (sekira ^ {2} + bx + c) = 0}$, torej dva dejavnika: ${ displaystyle x}$ in kvadratna enačba v oklepaju. Če je kateri od teh dejavnikov ${ displaystyle 0}$, celotna enačba je prav tako enaka ${ displaystyle 0}$.
   • Tako sta dve korenini kvadratne enačbe rešitve kubične enačbe. Tretja rešitev je ${ displaystyle x = 0}$.

Metoda 2 od 3: Kako najti cele korenine z uporabo množiteljev

1. 1 Prepričajte se, da je v kubični enačbi prosti izraz d{ displaystyle d}. Če v enačbi oblike ${ displaystyle sekira ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ obstaja brezplačen član ${ displaystyle d}$ (ki ni enaka nič), ne bo uspelo postaviti "x" zunaj oklepajev. V tem primeru uporabite metodo, opisano v tem razdelku.
   • Na primer, glede na kubično enačbo ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Če želite na desni strani enačbe dobiti ničlo, dodajte ${ displaystyle 6}$ na obe strani enačbe.
   • Enačba se bo izkazala ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... As ${ displaystyle d = 6}$, metode, opisane v prvem poglavju, ni mogoče uporabiti.
2. 2 Zapišite faktorje koeficienta a{ displaystyle a} in brezplačni član d{ displaystyle d}. Se pravi, poiščite faktorje števila pri ${ displaystyle x ^ {3}}$ in številke pred znakom enakosti. Spomnite se, da so faktorji števila številke, ki pri množenju tvorijo to število.
   • Na primer, da dobite številko 6, morate pomnožiti ${ displaystyle 6 krat 1}$ in ${ displaystyle 2 krat 3}$... Torej številke 1, 2, 3, 6 so dejavniki števila 6.
   • V naši enačbi ${ displaystyle a = 2}$ in ${ displaystyle d = 6}$... Množitelji 2 so 1 in 2... Množitelji 6 so številke 1, 2, 3 in 6.
3. 3 Vsak faktor razdelite a{ displaystyle a} za vsak faktor d{ displaystyle d}. Posledično dobite veliko ulomkov in več celih števil; korenine kubične enačbe bodo eno od celih števil ali negativna vrednost enega od celih števil.
   • V našem primeru razdelite dejavnike ${ displaystyle a}$ (1 in 2) zaradi dejavnikov ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 in 6). Dobili boste: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ in ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Zdaj na ta seznam dodajte negativne vrednosti dobljenih ulomkov in števil: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ in ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Celotne korenine kubične enačbe so nekatere številke s tega seznama.
4. 4 Vstavite cela števila v kubično enačbo. Če je enakost resnična, je nadomestno število koren enačbe. Na primer, nadomestite v enačbi ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, torej enakost ni upoštevana. V tem primeru priključite naslednjo številko.
   • Nadomestni ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Tako je ${ displaystyle -1}$ je celoten koren enačbe.
5. 5 Uporabite metodo deljenja polinoma z Hornerjeva shemada bi hitreje našli korenine enačbe. Naredite to, če ne želite ročno zamenjati številk v enačbi. V Hornerjevi shemi so cela števila deljena z vrednostmi koeficientov enačbe ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ in ${ displaystyle d}$... Če so številke enakomerno deljive (to pomeni, da je preostanek ${ displaystyle 0}$), celo število je koren enačbe.
   • Hornerjeva shema si zasluži ločen članek, vendar je naslednji primer izračuna ene od korenin naše kubične enačbe s to shemo:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Ostanek je torej ${ displaystyle 0}$, ampak ${ displaystyle -1}$ je ena od korenin enačbe.

Metoda 3 od 3: Kako rešiti enačbo z uporabo diskriminata

1. 1 Zapišite vrednosti koeficientov enačbe a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} in d{ displaystyle d}. Priporočamo, da vrednosti navedenih koeficientov zapišete vnaprej, da se v prihodnje ne boste zmešali.
   • Na primer, glede na enačbo ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Zapisati ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ in ${ displaystyle d = -1}$... Spomnite se, če prej ${ displaystyle x}$ ni številke, ustrezen koeficient še vedno obstaja in je enak ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Izračunajte ničelni diskriminator s posebno formulo. Če želite rešiti kubično enačbo z diskriminatorom, morate izvesti številne težke izračune, če pa vse korake izvedete pravilno, bo ta metoda postala nepogrešljiva za reševanje najbolj zapletenih kubičnih enačb. Prvi izračun ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (nič diskriminatorne) je prva vrednost, ki jo potrebujemo; če želite to narediti, nadomestite ustrezne vrednosti v formuli ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminator je število, ki označuje korenine polinoma (na primer diskriminator kvadratne enačbe se izračuna po formuli ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • V naši enačbi:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Izračunajte prvega diskriminatorja po formuli Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Prvi diskriminator ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - to je druga pomembna vrednost; za izračun vključite ustrezne vrednosti v podano formulo.
   • V naši enačbi:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Izračunaj:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... To pomeni, da skozi dobljene vrednosti poiščite diskriminator kubične enačbe ${ displaystyle Delta _ {0}}$ in ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Če je diskriminator kubične enačbe pozitiven, ima enačba tri korenine; če je diskriminator enak nič, ima enačba eno ali dve koreni; če je diskriminator negativen, ima enačba en koren.
   • Kubična enačba ima vedno vsaj en koren, saj graf te enačbe preseka os X vsaj na eni točki.
   • V naši enačbi ${ displaystyle Delta _ {0}}$ in ${ displaystyle Delta _ {1}}$ so enaki ${ displaystyle 0}$, tako da lahko enostavno izračunate ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Tako ima naša enačba eno ali dve korenini.

5. 5 Izračunaj:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { levo ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } desno) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - to je zadnja pomembna količina, ki jo je mogoče najti; vam bo pomagal izračunati korenine enačbe. Vrednosti nadomestite z navedeno formulo ${ displaystyle Delta _ {1}}$ in ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • V naši enačbi:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Poiščite tri korenine enačbe. Naredite to s formulo ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, kje ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ampak n je enako 1, 2 ali 3... V to formulo nadomestite ustrezne vrednosti - posledično boste dobili tri korenine enačbe.
   • Izračunajte vrednost po formuli pri n = 1, 2 ali 3in nato preveri odgovor. Če pri preverjanju odgovora dobite 0, je ta vrednost korenina enačbe.
   • V našem primeru nadomesti 1 v ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ in dobite 0, tj 1 je ena od korenin enačbe.