Vsebina

• Koraki
• Metoda 1 od 3: Faktoriranje enačbe
• Metoda 2 od 3: Uporaba kvadratne formule
• Metoda 3 od 3: Dokončanje kvadrata
• Nasveti

Kvadratna enačba je enačba, pri kateri je največja moč spremenljivke 2. Obstajajo trije glavni načini za reševanje kvadratnih enačb: če je mogoče, kvadratno enačbo faktorite, uporabite kvadratno formulo ali dokončajte kvadrat. Želite vedeti, kako se vse to naredi? Beri naprej.

Koraki

Metoda 1 od 3: Faktoriranje enačbe

1. 1 Dodajte vse podobne elemente in jih prenesite na eno stran enačbe. To bo prvi korak, kar pomeni ${ displaystyle x ^ {2}}$ v tem primeru mora ostati pozitiven. Dodajte ali odštejte vse vrednosti ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ in konstantno, vse prenese v en del in pusti 0 v drugem. To storite tako:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktor izraza. Če želite to narediti, morate uporabiti vrednosti ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), konstantne vrednosti (-4), jih je treba pomnožiti in oblikovati -11. To storite tako:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ ima le dva možna dejavnika: ${ displaystyle 3x}$ in ${ displaystyle x}$zato jih lahko zapišete v oklepaju: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Nadalje, ko nadomestimo faktorje 4, najdemo kombinacijo, ki ob množenju daje -11x. Uporabite lahko kombinacijo 4 in 1 ali 2 in 2, saj obe dajeta 4. Ne pozabite, da morajo biti vrednosti negativne, ker imamo -4.
   • S poskusi in napakami dobite kombinacijo ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Pri množenju dobimo ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... S povezovanjem ${ displaystyle -12x}$ in ${ displaystyle x}$, dobimo vmesni rok ${ displaystyle -11x}$ki smo jih iskali. Kvadratna enačba je faktorizirana.
   • Poskusimo na primer neprimerno kombinacijo: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombiniramo, dobimo ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Čeprav se faktorja -2 in 2 pomnožita na -4, srednji rok ne deluje, ker smo želeli dobiti ${ displaystyle -11x}$, vendar ne ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Vsak izraz v oklepajih poravnajte na nič (kot ločene enačbe). Tako najdemo dva pomena ${ displaystyle x}$pri katerem je celotna enačba enaka nič, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Zdaj ostane enak nič vsakemu izrazu v oklepaju. Zakaj? Bistvo je, da je produkt enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. As ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ je nič, potem je (3x + 1) ali (x - 4) nič. Zapisati ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ in ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Vsako enačbo rešite posebej. V kvadratni enačbi ima x dva pomena. Rešite enačbe in zapišite vrednosti x:
   • Reši enačbo 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... z odštevanjem
     • 3x / 3 = -1/3 ..... z deljenjem
     • x = -1/3 ..... po poenostavitvi
   • Reši enačbo x - 4 = 0
     • x = 4 ..... z odštevanjem
   • x = (-1/3, 4) ..... možne vrednosti, to je x = -1/3 ali x = 4.
5. 5 Preverite x = -1/3 tako, da to vrednost priključite v (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... z zamenjavo
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... po poenostavitvi
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... po množenju
   • 0 = 0, zato je x = -1/3 pravilen odgovor.
6. 6 Preverite x = 4 tako, da to vrednost priključite na (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... z zamenjavo
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... po poenostavitvi
   • (13) (0) = 0 ..... po množenju
   • 0 = 0, zato je x = 4 pravilen odgovor.
   • Tako sta obe rešitvi pravilni.

Metoda 2 od 3: Uporaba kvadratne formule

1. 1 Združite vse izraze in zapišite na eno stran enačbe. Shranite vrednost ${ displaystyle x ^ {2}}$ pozitivno. Izraze zapišite po padajočih stopinjah, torej izraz ${ displaystyle x ^ {2}}$ najprej se piše, potem ${ displaystyle x}$ in potem konstanta:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Zapišite formulo za korenine kvadratne enačbe. Formula izgleda takole: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Določite vrednosti a, b in c v kvadratni enačbi. Spremenljivka a je koeficient izraza x, b - član x, c - konstantno. Za enačbo 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 in c = -8. Zapišite.
4. 4 V enačbo vključite vrednosti za a, b in c. Če poznate vrednosti treh spremenljivk, jih lahko vključite v enačbo na naslednji način:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Preštej. Nadomestite vrednosti, poenostavite prednosti in slabosti ter preostale izraze pomnožite ali kvadrat:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Poenostavite kvadratni koren. Če je kvadratni koren kvadrat, dobite celo število. Če ne, poenostavite na najpreprostejšo korensko vrednost. Če je število negativno, in prepričani ste, da mora biti negativen, potem bodo korenine zapletene. V tem primeru √ (121) = 11. Lahko zapišete, da je x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Poiščite pozitivne in negativne rešitve. Če ste odstranili znak kvadratnega korena, lahko nadaljujete, dokler ne najdete pozitivnih in negativnih vrednosti x. Če imate (5 +/- 11) / 6, lahko zapišete:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Poiščite pozitivne in negativne vrednosti. Preštej samo:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Poenostavite. Če želite to narediti, preprosto delite oboje z največjim skupnim faktorjem. Prvi ulomek delite z 2, drugega s 6, x je najden.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metoda 3 od 3: Dokončanje kvadrata

1. 1 Premakni vse izraze na eno stran enačbe.a ali x mora biti pozitiven. To se naredi tako:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • V tej enačbi a: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Prenos člana c (trajno) na drugo stran. Konstanta je izraz v enačbi, ki vsebuje samo številčno vrednost, brez spremenljivk.Premaknite ga na desno stran:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Oba dela razdelite po faktorju a ali x. Če x nima koeficienta, je enak ena in ta korak je mogoče preskočiti. V našem primeru vse člane delimo z 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Razdelite b za 2, kvadrat in dodamo na obe strani. V našem primeru b enako -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Poenostavite obe strani. Kvadrirajte izraze na levi, da dobite (x-3) (x-3) ali (x-3). Dodajte izraze na desni, da dobite 9/2 + 9 ali 9/2 + 18/2, kar je 27/2.
6. 6 Izvlecite kvadratni koren obeh strani. Kvadratni koren (x-3) je preprosto (x-3). Kvadratni koren 27/2 lahko zapišemo kot ± √ (27/2). Tako je x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Poenostavite radikalno izražanje in poišči x. Za poenostavitev ± √ (27/2) poiščite popoln kvadrat v številkah 27 in 2 ali njuna faktorja. V številki 27 je celoten kvadrat 9, ker je 9 x 3 = 27. Če želite 9 izpeljati iz koreninskega znaka, vzemite koren iz njega in odštejte 3 od koreninskega znaka. Pustite 3 v števnikih ulomka pod korenskim znakom, saj tega faktorja ni mogoče izvleči, 2 pa pustite tudi na dnu. Nato premaknite konstanto 3 z leve strani enačbe na desno stran in zapišite dve rešitvi za x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Nasveti

• Če številka pod korenskim znakom ni popoln kvadrat, se zadnjih nekaj korakov izvede nekoliko drugače. Tukaj je primer:
• Kot lahko vidite, korenski znak ni izginil. Na ta način izrazov v števnikih ni mogoče združiti. Potem ni smiselno deliti plus ali minus. Namesto tega razdelimo vse skupne dejavnike - vendar samo če je skupni faktor konstante in koreninski koeficient.