Vsebina

• Koraki

Trigonometrična enačba vsebuje eno ali več trigonometričnih funkcij spremenljivke "x" (ali katero koli drugo spremenljivko). Reševanje trigonometrične enačbe je iskanje take vrednosti "x", ki ustreza funkcijam in enačbi kot celoti.

• Rešitve trigonometričnih enačb so izražene v stopinjah ali radianih. Primeri:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 stopinj; x = 37,12 stopinje; x = 178,37 stopinj.

• Opomba: vrednosti trigonometričnih funkcij iz kotov, izraženih v radianih, in iz kotov, izraženih v stopinjah, so enake. Trigonometrični krog s polmerom enak se uporablja za opis trigonometričnih funkcij, pa tudi za preverjanje pravilnosti rešitve osnovnih trigonometričnih enačb in neenakosti.
• Primeri trigonometričnih enačb:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonometrični krog s polmerom ena (krog enote).
   • To je krog s polmerom enakim in središčem v točki O. Enotni krog opisuje 4 osnovne trigonometrične funkcije spremenljivke "x", kjer je "x" kot, izmerjen od pozitivne smeri osi X v nasprotni smeri urinega kazalca.
   • Če je "x" določen kot na krogu enote, potem:
   • Vodoravna os OAx definira funkcijo F (x) = cos x.
   • Navpična os OBy definira funkcijo F (x) = sin x.
   • Navpična os AT definira funkcijo F (x) = tan x.
   • Vodoravna os BU definira funkcijo F (x) = ctg x.

• Enotni krog se uporablja tudi za reševanje osnovnih trigonometričnih enačb in neenakosti (na njem so upoštevani različni položaji "x").

Koraki

1. 1 Koncept reševanja trigonometričnih enačb.
   • Če želite rešiti trigonometrično enačbo, jo pretvorite v eno ali več osnovnih trigonometričnih enačb. Reševanje trigonometrične enačbe se končno konča z reševanjem štirih osnovnih trigonometričnih enačb.
2. 2 Reševanje osnovnih trigonometričnih enačb.
   • Obstajajo 4 vrste osnovnih trigonometričnih enačb:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Reševanje osnovnih trigonometričnih enačb vključuje pogled na različne položaje x na krogu enote in uporabo pretvorbene tabele (ali kalkulatorja).
   • Primer 1. sin x = 0,866. S pomočjo pretvorbene tabele (ali kalkulatorja) dobite odgovor: x = π / 3. Enota kroga poda še en odgovor: 2π / 3. Ne pozabite: vse trigonometrične funkcije so periodične, to pomeni, da se njihove vrednosti ponavljajo. Na primer, periodičnost sin x in cos x je 2πn, periodičnost tg x in ctg x pa πn. Zato je odgovor zapisan takole:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Primer 2.cos x = -1/2. Z uporabo pretvorbene tabele (ali kalkulatorja) dobite odgovor: x = 2π / 3. Enota kroga daje še en odgovor: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Primer 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Odgovor: x = π / 4 + πn.
   • Primer 4. ctg 2x = 1.732.
   • Odgovor: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformacije, ki se uporabljajo za reševanje trigonometričnih enačb.
   • Za preoblikovanje trigonometričnih enačb se uporabljajo algebrske transformacije (faktorizacija, redukcija homogenih členov itd.) In trigonometrične identitete.
   • Primer 5. Z uporabo trigonometričnih identitet se enačba sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pretvori v enačbo 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Tako morate rešiti naslednje osnovne trigonometrične enačbe: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Iskanje kotov iz znanih vrednosti funkcij.
   • Preden se naučite metod za reševanje trigonometričnih enačb, se morate naučiti, kako najti kote iz znanih vrednosti funkcij. To lahko storite s pomočjo pretvorbene tabele ali kalkulatorja.
   • Primer: cos x = 0,732. Kalkulator bo dal odgovor x = 42,95 stopinj. Enota kroga bo dala dodatne kote, katerih kosinus je tudi 0,732.
5. 5 Raztopino postavite na stran kroga enote.
   • Rešitve trigonometrične enačbe lahko odložite na krogu enote. Rešitve trigonometrične enačbe na enotnem krogu so oglišča pravilnega poligona.
   • Primer: Rešitve x = π / 3 + πn / 2 na enotnem krogu so oglišča kvadrata.
   • Primer: Rešitve x = π / 4 + πn / 3 na enotnem krogu predstavljajo oglišča pravilnega šestkotnika.
6. 6 Metode reševanja trigonometričnih enačb.
   • Če določena enačba sprožilca vsebuje samo eno funkcijo sprožitve, jo rešite kot osnovno enačbo sprožilca.Če določena enačba vključuje dve ali več trigonometričnih funkcij, potem obstajata dve metodi za reševanje takšne enačbe (odvisno od možnosti njene transformacije).
     • 1. metoda.
   • Pretvorite to enačbo v enačbo oblike: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kjer so f (x), g (x), h (x) osnovne trigonometrične enačbe.
     
     
   • Primer 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Rešitev. S formulo za dvojni kot sin 2x = 2 * sin x * cos x zamenjajte sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos x = 0 in (sin x + 1) = 0.
   • Primer 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Rešitev: S pomočjo trigonometričnih identitet pretvorite to enačbo v enačbo oblike: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos 2x = 0 in (2cos x + 1) = 0.
   • Primer 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Rešitev: S pomočjo trigonometričnih identitet pretvorite to enačbo v enačbo oblike: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Sedaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos 2x = 0 in (2sin x + 1) = 0.
     • Metoda 2.
   • Pretvorite dano trigonometrično enačbo v enačbo, ki vsebuje samo eno trigonometrično funkcijo. Nato zamenjajte to trigonometrično funkcijo z neko neznano, na primer t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t itd.).
   • Primer 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Rešitev. V tej enačbi zamenjajte (cos ^ 2 x) z (1 - sin ^ 2 x) (po identiteti). Preoblikovana enačba je:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamenjaj sin x s t. Enačba je zdaj videti tako: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. To je kvadratna enačba z dvema koreninama: t1 = -1 in t2 = 9/5. Drugi koren t2 ne ustreza obsegu vrednosti funkcije (-1 sin x 1). Zdaj se odločite: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Primer 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Rešitev. Zamenjajte tg x s t. Izvirno enačbo prepišite na naslednji način: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Zdaj poiščite t in nato poiščite x za t = tg x.
7. 7 Posebne trigonometrične enačbe.
   • Obstaja več posebnih trigonometričnih enačb, ki zahtevajo posebne transformacije. Primeri:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodičnost trigonometričnih funkcij.
   • Kot smo že omenili, so vse trigonometrične funkcije periodične, to pomeni, da se njihove vrednosti po določenem obdobju ponovijo. Primeri:
     • Obdobje funkcije f (x) = sin x je 2π.
     • Obdobje funkcije f (x) = tan x je enako π.
     • Obdobje funkcije f (x) = sin 2x je π.
     • Obdobje funkcije f (x) = cos (x / 2) je 4π.
   • Če je v problemu določeno obdobje, v tem obdobju izračunajte vrednost "x".
   • Opomba: Reševanje trigonometričnih enačb ni lahka naloga in pogosto vodi do napak. Zato natančno preverite svoje odgovore. Če želite to narediti, lahko z grafičnim kalkulatorjem narišete dano enačbo R (x) = 0. V takih primerih bodo rešitve predstavljene kot decimalni ulomki (to pomeni, da se π nadomesti z 3,14).