Vsebina

• Stopati
• Nasveti

Kot graf glej kvadratno enačbo ax + bx + c , ki je zapisano tudi kot a (x - h) + k, videti kot gladka krivulja v obliki črke U. Temu pravimo ta parabola. Grafiranje kvadratne enačbe vključuje iskanje oglišča, smeri in pogosto presečišč z osjo x in osjo y. V primeru razmeroma preproste kvadratne enačbe lahko zadošča tudi vnos številnih vrednosti za x, ki označujejo te točke v koordinatnem sistemu, nakar lahko narišemo parabolo. Za začetek nadaljujte s 1. korakom.

Stopati

1. Ugotovite, kakšno enačbo druge stopnje imate. Zapišemo ga lahko na dva načina: standardni zapis in zapis oglišča (drug način za zapis formule kvadratnega korena). Oba lahko uporabite za ustvarjanje grafa kvadratne enačbe, vendar je postopek v vsakem primeru nekoliko drugačen. Večino časa boste naleteli na standardno obliko, vsekakor pa ne škodi, če se naučite uporabljati obe obliki. Dve obliki kvadratne enačbe sta:
   • Standardna oblika. Kvadratna enačba je zapisana kot: f (x) = ax + bx + c, kjer so a, b in c realna števila in a ni enaka nič.
     • Dva primera standardnih kvadratnih enačb: f (x) = x + 2x + 1 in f (x) = 9x + 10x -8.
   • Oblika oglišča. Kvadratna enačba je zapisana kot: f (x) = a (x - h) + k, kjer so a, h in k realna števila in a ni enaka nič. Ta oblika se imenuje oglišče, ker se h in k nanašata neposredno na vrh vaše parabole v točki (h, k).
     • Dva primera enačb oblike vozlišč sta f (x) = 9 (x - 4) + 18 in -3 (x - 5) + 1
   • Za izdelavo grafa teh enačb najprej določimo vrh (h, k) grafa. V standardni enačbi boste to našli preko: h = -b / 2a in k = f (h), medtem ko je to že podano v obliki oglišča, ker se v enačbi pojavita h in k.
2. Določite svoje spremenljivke. Za reševanje kvadratne enačbe je običajno treba določiti spremenljivke a, b in c (ali a, h in k). Redna vaja vam bo dala enačbo druge stopnje v standardni obliki, lahko pa se pojavi tudi zapis vreten.
   • Na primer: standardna funkcija f (x) = 2x + 16x + 39. Tu imamo a = 2, b = 16 in c = 39.
   • V zapisu oglišča: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Tu imamo a = 4, h = 5 in k = 12.
3. Izračunaj h. V zapisu oglišča je vrednost h že podana, v standardnem zapisu pa ta vrednost še ni izračunana. Ne pozabite, da s standardno enačbo velja: h = -b / 2a.
   • Primer 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Z rešitvijo tega vidimo, da je h = -4.
   • Primer 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), takoj vidimo, da je h = 5.
4. Izračunaj k. Tako kot pri h, je tudi k že znan iz enačb oblike oglišč. Za enačbe v standardnem zapisu ne pozabite, da je k = f (h). Z drugimi besedami, k lahko najdete tako, da katero koli spremenljivko x nadomestite z vrednostjo h.
   • Na primer 1 smo videli, da je h = -4. Za iskanje k rešimo to enačbo tako, da v enačbo vnesemo vrednost h za spremenljivko x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Iz primera 2 vemo, da je vrednost k enaka 12, brez kakršnega koli izračuna.
5. Narišite zgornji ali spodnji del grafa. Vrh ali dolina vaše parabole je točka (h, k) - h je koordinata x, k pa koordinata y. Vozlišče je središče vaše parabole - najvišja ali najnižja točka, oglišče ali dolina grafa v obliki črke "U" ali obratno.Znanje določiti vrh parabole je bistven del risanja pravilnega grafa - pogosto je določanje vrha parabole del matematičnega problema v šoli.
   • V primeru 1 je vrh grafa (-4,7). Točko narišite na svoj graf in poskrbite, da boste pravilno poimenovali koordinate.
   • V primeru 2 je vrh (5.12). Torej od točke (0,0) gremo 5 mest v desno in nato navzgor za 12.
6. Po potrebi narišite os simetrije parabole. Os simetrije parabole je črta, ki seka figuro na sredini in jo deli natančno na polovico. Ena stran grafa se zrcali vzdolž te črte na drugi strani grafa. V kvadratnih enačbah bodisi ax + bx + c ali a (x - h) + k je ta os črta, vzporedna z osjo y, ki poteka skozi vrh parabole.
   • V primeru primera 1 je os simetrije premica, ki je vzporedna z osjo y in poteka skozi točko (-4,7). Čeprav ni del same parabole, lahko z lahkim poudarjanjem te smernice pokažete, kako simetrična je krivulja parabole.
7. Določite smer parabole. Ko ugotovite, kaj je vrh parabole, je treba vedeti, ali imate opravka z gorsko ali dolinsko parabolo, torej ali je odprtina spodaj ali na vrhu. Na srečo je to zelo enostavno. Če je "a" pozitiven, imate opravka z dolinsko parabolo; če je "a" negativna, je to gorska parabola (z odprtino na dnu)
   • V primeru 1 imamo opravka s funkcijo (f (x) = 2x + 16x + 39), torej je to parabola doline, ker je a = 2 (pozitivno).
   • V primeru 2 imamo opravka s funkcijo f (x) = 4 (x - 5) + 12), to pa je tudi parabola doline, ker je a = 4 (pozitivna).
8. Po potrebi določite presečišča parabole. Kadar se od matematičnega problema zahteva, da poda presečišča parabole z osjo x (to so "nič", a ali dva točke, kjer se parabola seka ali zadene v os x). Tudi če niso zahtevane, so te točke zelo pomembne za risanje natančnega grafa. Toda vse parabole nimajo presečišča z osjo x. Če imate opravka z dolinsko parabolo in je dolinska točka nad osjo x ali v primeru gorske parabole tik pod osjo X, potem križišč preprosto ni mogoče najti. V tem primeru uporabite enega od naslednjih načinov:
   • Določimo, da je f (x) = 0, in rešimo enačbo. Ta metoda lahko deluje za preproste kvadratne enačbe, zlasti v obliki oglišča, vendar boste ugotovili, da je to vedno težje, ko funkcije postanejo bolj zapletene. Spodaj je nekaj primerov.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 in 13 so presečišča z osjo x parabole.
   • Faktor enačbe. Nekatere enačbe v obliki ax + bx + c lahko enostavno prepišemo kot (dx + e) ​​(fx + g), kjer je dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx in e × g = c. V tem primeru so presečišča x vrednosti x, kjer postane vsak člen v oklepaju enak 0. Na primer:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • V tem primeru je presečišče -1, ker iz obeh faktorjev dobimo nič.
   • Uporabite formulo abc. Če križišč ni enostavno ugotoviti ali enačbo razstaviti na faktor, za ta namen uporabite "formulo abc". Predpostavimo enačbo v obliki ax + bx + c. Nato vnesite vrednosti a, b in c v formulo x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Upoštevajte, da vam to pogosto daje dva odgovora za x, kar je v redu - to samo pomeni, da ima vaša parabola dva presečišča z osjo x. Tu je primer:
     • V enačbo vnesite -5x + 1x + 10 na naslednji način:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) in (-15,18 / -10). Presečišča parabole z osjo x so približno x = -1,318 in 1,518
     • Kot v primeru 1 z enačbo 2x + 16x + 39, bo to videti takole:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Ker kvadratnega korena negativnega števila ni mogoče najti, vemo, da za to določeno parabolo ni presečišč z osjo x.
9. Po potrebi določite presečišče parabole z osjo y. Pogosto ni potrebno, včasih pa je treba najti to križišče, na primer za matematične naloge. To je dokaj enostavno - nastavite vrednost x na 0 in rešite enačbo za f (x) ali y, ki vam daje vrednost y točke, kjer se parabola seka z osjo y. Razlika s presečišči skozi os x je v tem, da je na osi y vedno le ena točka presečišča. Opomba - pri standardnih enačbah je presečišče z osjo y pri y = c.
   • Na primer, vemo, da ima naša kvadratna enačba 2x + 16x + 39 presečišče y = 39, lahko pa to najdemo tudi na naslednji način:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Presečišče parabole z osjo y: y = 39. Kot je navedeno zgoraj, lahko zlahka preberemo presečišče, ker je y = c.
   • Enačba 4 (x - 5) + 12 ima presečišče z osjo y, ki jo lahko najdemo na naslednji način:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Presečišče z osjo y: y = 112.
10. Če menite, da je to potrebno, najprej narišite dodatne točke in nato celoten graf. Zdaj bi morali imeti vrh ali dolino, smer, presečišča z osjo x in po možnosti z osjo enačbe. Od te točke lahko poskusite narisati parabolo s pomočjo teh točk ali pa poskusite najti več točk, da bo graf bolj natančen. To najlažje naredite tako, da preprosto vnesete število x vrednosti, ki bodo vrnile število y vrednosti. Pogosto vas bo (učitelj) pozval, da izračunate število točk, preden začnete risati parabolo.
    • Poglejmo si še enačbo x + 2x + 1. Že zdaj vemo, da je edino presečišče z osjo x (-1,0). Ker se na tej točki dotika samo osi x, lahko ugotovimo, da je vrh grafa enak tej točki. Zaenkrat imamo samo eno točko te parabole - niti približno dovolj za risanje grafa. Poiščimo še nekaj točk, da se prepričamo, da imamo več vrednot.
      • Poskusimo najti vrednosti y, ki ustrezajo naslednjim vrednostim x: 0, 1, -2 in -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Nato točka (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Nato točka (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Nato točka (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Nato točka (-3,4).
      • Te točke postavite v graf in narišite svojo parabolo. Upoštevajte, da je parabola popolnoma simetrična - če poznate točke na eni strani grafa, si lahko navadno prihranite veliko dela z uporabo teh točk za iskanje točk na drugi strani osi simetrije.

Nasveti

• Po potrebi zaokroži številke ali uporabi ulomke. To lahko pomaga pri pravilnem prikazu grafikona.
• Upoštevajte, da če bodo za funkcijo f (x) = ax + bx + c, b ali c enaki nič, bodo ti izrazi izginili. Na primer, 12x + 0x + 6 postane enako 12x + 6, ker je 0x enako 0.