Vsebina

• Stopati
• Metoda 1 od 3: Uporaba metode zamenjave
• Metoda 2 od 3: Uporaba metode izločanja
• 3. metoda od 3: graf enačb
• Nasveti
• Opozorila

V "sistemu enačb" morate hkrati rešiti dve ali več enačb. Ko ti dve vsebujeta različne spremenljivke, na primer x in y ali a in b, je na prvi pogled težko videti, kako ju rešiti. Na srečo, ko enkrat veste, kaj morate storiti, potrebujete le nekaj osnovnih matematičnih veščin (in včasih tudi delček znanja), da rešite težavo. Če je potrebno, ali če ste vizualni študent, se naučite tudi risati enačbe. Grafiranje (risanje) grafa je lahko koristno, da "vidite, kaj se dogaja", ali da preverite svoje delo, lahko pa je tudi počasnejše od drugih metod in ne deluje z vsemi enačbenimi sistemi.

Stopati

Metoda 1 od 3: Uporaba metode zamenjave

1. Premaknite spremenljivke na različne strani enačbe. Ta "substitucijska" metoda se začne z "reševanjem x" (ali katere koli druge spremenljivke) v eni od enačb. Na primer, imamo naslednje enačbe: 4x + 2y = 8 in 5x + 3x = 9. Najprej pogledamo prvo primerjavo. Prerazporedite tako, da odštejete 2y z obeh strani in dobite: 4x = 8-2g.
   • Ta metoda v poznejši fazi pogosto uporablja frakcije. Če raje ne delate z ulomki, lahko uporabite tudi spodnjo metodo odstranjevanja.
2. Razdelite obe strani enačbe, da rešite "x". Ko imate na eni strani enačbe izraz x (ali katero koli spremenljivko, ki jo uporabljate), razdelite obe strani enačbe, da spremenljivko izolirate. Na primer:
   • 4x = 8-2g
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Priklopite to nazaj v drugo enačbo. Ne pozabite se vrniti na Drugi primerjava, ne tista, ki ste jo že uporabili. V tej enačbi zamenjate spremenljivko, ki ste jo rešili, pri čemer ostane samo ena spremenljivka. Na primer:
   • Zdaj veste, da: x = 2 - ½y.
   • Druga enačba, ki je še niste spremenili, je: 5x + 3x = 9.
   • V drugi enačbi x nadomestite z "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Reši preostalo spremenljivko. Zdaj imate enačbo s samo eno spremenljivko. Za rešitev te spremenljivke uporabite običajne tehnike algebre. Če se spremenljivke medsebojno izničijo, preskočite na zadnji korak. V nasprotnem primeru boste na koncu dobili odgovor na eno od svojih spremenljivk:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Če tega koraka ne razumete, se naučite dodajati ulomke. Pri tej metodi je to pogosto, vendar ne vedno).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Z odgovorom rešite drugo spremenljivko. Ne naredite napake, če boste težavo končali na pol poti. Odgovor, ki ste ga dobili, boste morali znova vnesti v eno od prvotnih enačb, da boste lahko rešili drugo spremenljivko:
   • Zdaj veste, da: y = -2
   • Ena izmed prvotnih enačb je: 4x + 2y = 8. (Za ta korak lahko uporabimo obe enačbi).
   • Priključite -2 namesto y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Vedeti, kaj storiti, če se obe spremenljivki medsebojno izbrišeta. Ko ti x = 3y + 2 ali če dobite podoben odgovor v drugi enačbi, poskušate dobiti enačbo s samo eno spremenljivko. Včasih namesto tega dobite enačbo brez spremenljivke. Še enkrat preverite svoje delo in v drugo enačbo nadomestite (preurejeno) prvo enačbo in ne prve enačbe. Če ste prepričani, da niste storili nobene napake, boste dobili enega od naslednjih rezultatov:
   • Če dobite enačbo brez spremenljivk in ki ni resnična (npr. 3 = 5), potem imate težavo brez rešitve. (Če ste graficirali enačbe, boste videli, da so vzporedne in se nikoli ne sekajo).
   • Če na koncu dobite enačbo brez spremenljivk, vendar te no je res (na primer 3 = 3), potem ima težavo neskončno število rešitev. Obe enačbi sta popolnoma enaki. (Če grafično prikažete obe enačbi, boste videli, da se natančno prekrivata).

Metoda 2 od 3: Uporaba metode izločanja

1. Določa spremenljivko, ki jo je treba odstraniti. Včasih se enačbe med seboj "izločijo" v spremenljivki, takoj ko jih seštejete. Na primer, ko naredite enačbe 3x + 2y = 11 in 5x - 2y = 13 kombinacije, se "+ 2y" in "-2y" medsebojno prekličeta, z vsemi "ys so izločeni iz enačbe. Oglejte si enačbe v svojem problemu in ugotovite, ali bo katera od spremenljivk odstranjena na ta način. Če nobena od spremenljivk ni odpravljena, preberite naslednji nasvet za nasvet.
2. Pomnožite enačbo, da izbrišete spremenljivko. (Ta korak preskočite, če sta se spremenljivki že odstranili). Če se nobena od spremenljivk v enačbah ne izbriše sama od sebe, morate spremeniti eno od enačb, tako da bo. To je najlažje razumeti na primeru:
   • Recimo, da imate sistem enačb 3x - y = 3 in -x + 2y = 4.
   • Spremenimo prvo enačbo tako, da bo spremenljivka y se izloči. (To lahko storite tudi za X in dobili enak odgovor).
   • The - y " prve enačbe je treba odpraviti z + 2 leti V drugi enačbi. To lahko storimo do - y pomnožimo z 2.
   • Obe strani prve enačbe pomnožimo z 2, kot sledi: 2 (3x - y) = 2 (3), in s tem 6x - 2y = 6. Zdaj bo - 2 leti odpadejo proti + 2 leti v drugi enačbi.
3. Združite obe enačbi. Če želite združiti dve enačbi, dodajte levo in desno stran. Če ste enačbo napisali pravilno, se mora ena od spremenljivk izločiti pred drugo. Tu je primer, ki uporablja enake enačbe kot zadnji korak:
   • Vaše enačbe so: 6x - 2y = 6 in -x + 2y = 4.
   • Združite leve stranice: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Združite desne strani: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Reši za zadnjo spremenljivko. Poenostavite kombinirano enačbo in nato z osnovno algebro rešite zadnjo spremenljivko. Če po poenostavitvi ni spremenljivk, nadaljujte do zadnjega koraka v tem razdelku. V nasprotnem primeru bi morali končati s preprostim odgovorom na eno od svojih spremenljivk. Na primer:
   • Imaš: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Spremenljivke razvrstite v skupine X in y drug z drugim: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Poenostavite: 5x = 10
   • Reši za x: (5x) / 5 = 10/5, tako da x = 2.
5. Reši za ostale spremenljivke. Našli ste eno spremenljivko, vendar še niste končali. Nadomestite svoj odgovor v eno od prvotnih enačb, da boste lahko rešili drugo spremenljivko. Na primer:
   • To veste x = 2, in to ena od vaših prvotnih enačb 3x - y = 3 je.
   • Priključite 2, namesto x: 3 (2) - y = 3.
   • Rešite y v enačbi: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, torej 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Vedite, kaj storiti, ko se obe spremenljivki medsebojno izbrišeta. Včasih kombinacija dveh enačb povzroči enačbo, ki nima pomena ali vam ne pomaga rešiti težave. Že dvakrat preverite svoje delo, če pa se niste zmotili, zapišite enega od naslednjih odgovorov:
   • Če vaša kombinirana enačba nima spremenljivk in ni resnična (na primer 2 = 7), potem obstaja brez rešitve ki velja za obe enačbi. (Če grafično prikažete obe enačbi, boste videli, da sta vzporedni in se nikoli ne sekata).
   • Če vaša kombinirana enačba nima spremenljivk in je resnična (na primer 0 = 0), potem obstajajo neskončno število rešitev. Obe enačbi sta dejansko enaki. (Če jih postavite v graf, boste videli, da se popolnoma prekrivajo).

3. metoda od 3: graf enačb

1. To metodo uporabite le, če je navedena. Če ne uporabljate računalnika ali grafičnega kalkulatorja, je mogoče številne sisteme enačb le približno rešiti s to metodo. Vaš učitelj ali učbenik za matematiko vas bo morda prosil, da uporabite to metodo, zato verjetno poznate grafične enačbe, kot so črte. S to metodo lahko preverite tudi, ali so odgovori na katero koli drugo metodo pravilni.
   • Osnovna ideja je, da grafično prikažete obe enačbi in določite točko, kjer se sekata. Vrednosti x in y na tej točki dajejo vrednost x in vrednost y v sistemu enačb.
2. Rešite obe enačbi za y. Ločite obe enačbi in z algebro pretvorite vsako enačbo v obliko "y = __x + __". Na primer:
   • Prva enačba je: 2x + y = 5. Spremenite v: y = -2x + 5.
   • Druga enačba je: -3x + 6y = 0. Spremenite to v 6y = 3x + 0in poenostavite na y = ½x + 0.
   • Ali sta obe enačbi enaki, nato celotna črta postane "presečišče". Napišite: neskončne rešitve.
3. Narišite koordinatni sistem. Na list milimetrskega papirja narišite navpično "os y" in vodoravno "os x". Začnite na mestu, kjer se črte sekajo, in označite številke 1, 2, 3, 4 itd. Navzgor po osi y in spet desno po osi x. Označite številke -1, -2 itd. Vzdolž osi y navzdol in levo vzdolž osi x.
   • Če nimate milimetrskega papirja, uporabite ravnilo in se prepričajte, da so številke enakomerno razporejene.
   • Če uporabljate velika števila ali decimalna mesta, boste morda morali prilagoditi grafikon. (Na primer 10, 20, 30 ali 0,1, 0,2, 0,3 namesto 1, 2, 3).
4. Narišite presečišče y za vsako črto. Ko imate enačbo v obliki y = __x + __ lahko ga začnete graficirati tako, da nastavite točko, kjer črta prestreže os y. To je vedno pri vrednosti y, enaki zadnjemu številu v tej enačbi.
   • V prej omenjenih primerih je ena vrstica (y = -2x + 5) v os y 5. Druga vrstica (y = ½x + 0) prehaja skozi ničelno točko 0. (To sta točki (0,5) in (0,0) na grafu).
   • Če je mogoče, navedite vsako vrstic z drugo barvo.
5. Z naklonom nadaljujte z risanjem črt. V obliki y = __x + __, je število za x th naklon off line. Vsakič, ko se x poveča za eno, se vrednost y poveča z vrednostjo naklona. S pomočjo teh informacij poiščite točko na grafu za vsako vrstico, kadar je x = 1. (Druga možnost je, da enačbo nadomestite z x = 1 in rešite za y).
   • V našem primeru črta ima y = -2x + 5 pobočje -2. Pri x = 1 se vrstica 2 spusti dol od točke x = 0. Odsek črte nariši med (0,5) in (1,3).
   • Pravilo y = ½x + 0ima naklon ½. Pri x = 1 gre črta ½ gor od točke x = 0. Odsek črte nariši med (0,0) in (1, ½).
   • Ko imajo črte enak naklon črte se ne bodo nikoli sekale, zato za sistem enačb ni rešitve. Napišite: brez rešitve.
6. Nadaljujte z risanjem črt, dokler se ne sekajo. Ustavite se in si oglejte svoj grafikon. Če so se črte že prekrižale, pojdite na naslednji korak. V nasprotnem primeru se odločite glede na to, kaj počnejo vrstice:
   • Ko se črti premikata ena proti drugi, še naprej rišete točke v tej smeri.
   • Če se črti odmikata druga od druge, se vrnite in narišite točke v drugo smer, začenši z x = -1.
   • Če črte niso blizu drug drugemu, skočite naprej in narišite dlje točke, na primer x = 10.
7. Odgovor poiščite na presečišču črt. Ko se dve črti sekata, sta vrednosti x in y na tej točki rešitev problema. Če imate srečo, bo odgovor celo število. Na primer, v naših primerih se dve črti sekata (2,1) takšen je tudi vaš odgovor x = 2 in y = 1. V nekaterih sistemih enačb se bodo črte sekale pri vrednosti med dvema celo številoma in če bo vaš graf izredno natančen, bo težko ugotoviti, kje je to. V tem primeru lahko odgovorite na primer: "x je med 1 in 2". Za natančen odgovor lahko uporabite tudi metodo zamenjave ali odstranitve.

Nasveti

• Svoje delo lahko preverite tako, da odgovore vnesete nazaj v prvotne enačbe. Če so enačbe resnične (na primer 3 = 3), potem je vaš odgovor pravilen.
• Pri metodi izločanja morate včasih enačbo pomnožiti z negativnim številom, da odstranite spremenljivko.

Opozorila

• Teh metod ni mogoče uporabiti, če imate opravka s številko moči, kot je x. Če želite izvedeti več o enačbah te vrste, boste potrebovali vodnik za razdeljevanje kvadratnih faktorjev z dvema spremenljivkama.