Vsebina

• Koraki
• 1. del od 3: Faktoring binom
• 2. del 3: Faktoring binom za reševanje enačb
• 3. del 3: Reševanje kompleksnih problemov
• Nasveti
• Opozorila

Binom (binom) je matematični izraz z dvema izrazoma, med katerimi je znak plus ali minus, na primer ${ displaystyle sekira + b}$... Prvi član vključuje spremenljivko, drugi pa vključuje ali ne vključuje. Faktoriziranje binoma vključuje iskanje izrazov, ki pri množenju ustvarijo izvirni binom, da ga rešimo ali poenostavimo.

Koraki

1. del od 3: Faktoring binom

1. 1 Razumeti osnove procesa faktoringa. Pri faktorjenju binoma se iz oklepa vzame faktor, ki je delitelj vsakega izraza izvirnega binoma. Na primer, število 6 je popolnoma deljivo z 1, 2, 3, 6. Tako so delitelji števila 6 številke 1, 2, 3, 6.
   • Delitelji 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Delitelji poljubnega števila so 1 in število samo. Na primer, delitelji 3 so 1 in 3.
   • Celobrojni delitelji so lahko samo cela števila. Številko 32 lahko delite s 3,564 ali 21,4952, vendar ne dobite celega števila, ampak decimalni ulomek.
2. 2 Naročite pogoje binoma, da olajšate proces faktoringa. Binom je vsota ali razlika dveh izrazov, od katerih vsaj eden vsebuje spremenljivko. Včasih so spremenljivke povišane, na primer: ${ displaystyle x ^ {2}}$ ali ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Bolje je, da se členi binoma razvrstijo po naraščajočem vrstnem redu eksponentov, to je, da se izraz z najmanjšim eksponentom zapiše najprej, z največjim pa zadnji. Na primer:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Opazite znak minus pred 2. Če izraz odštejete, napišite pred njim znak minus.
3. 3 Poiščite največji skupni delitelj (GCD) obeh izrazov. GCD je največje število, s katerim sta oba člana binoma deljiva. Če želite to narediti, poiščite delitelje vsakega izraza v binomu in izberite največjega skupnega delitelja. Na primer:
   • Naloga:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Delitelji 3: 1, 3
     • Delitelji 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Vsak člen v binomu razdelite z največjim skupnim deliteljem (GCD). Naredite to, da izločite GCD. Upoštevajte, da se vsak član binoma zmanjša (ker je deljiv), če pa je GCD izključen iz oklepaja, bo končni izraz enak prvotnemu.
   • Naloga:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Poiščite GCD: 3
   • Vsak binomski izraz razdelite z gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Premaknite delitelj iz oklepajev. Prej ste oba člena binoma razdelili z deliteljem 3 in dobili ${ displaystyle t + 2}$... Ne morete pa se znebiti 3 - da bi bile vrednosti začetnega in končnega izraza enake, morate postaviti 3 zunaj oklepajev in izraz, pridobljen kot rezultat deljenja v oklepajih, zapisati. Na primer:
   • Naloga:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Poiščite GCD: 3
   • Vsak binomski izraz razdelite z gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Delitelj pomnožimo z nastalim izrazom:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Odgovor: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Preverite svoj odgovor. Če želite to narediti, pomnožite izraz pred oklepajem z vsakim izrazom v oklepaju. Če dobite izvirni binom, je rešitev pravilna. Zdaj rešite težavo ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Naročite članom:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Poiščite GCD:${ displaystyle 6}$
   • Vsak binomski izraz razdelite z gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Delitelj pomnožimo z nastalim izrazom:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Preverite odgovor:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

2. del 3: Faktoring binom za reševanje enačb

1. 1 Faktor binom poenostavite in rešite enačbo. Na prvi pogled se zdi nemogoče rešiti nekatere enačbe (zlasti s kompleksnimi binomi). Rešite na primer enačbo ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... V tej enačbi so moči, zato najprej upoštevajte izraz.
   • Naloga:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ne pozabite, da ima binom dva člana. Če izraz vključuje več izrazov, se naučite reševati polinome.
2. 2 Na obe strani enačbe seštejte ali odštejte nekaj monoma, tako da na eni strani enačbe ostane nič. V primeru faktoriranja rešitev enačb temelji na nespremenljivem dejstvu, da je vsak izraz, pomnožen z nič, enak nič. Če torej enačbo enačimo z ničlo, mora biti kateri koli njen faktor enak nič. Eno stran enačbe nastavite na 0.
   • Naloga:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Nastavi na nič:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Dobljeni koš razdelite na faktorje. Naredite to, kot je opisano v prejšnjem razdelku. Poiščite največji skupni faktor (GCD), z njim delite oba izraza binoma in faktor premaknite iz oklepajev.
   • Naloga:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Nastavi na nič:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Vsak faktor nastavite na nič. V dobljenem izrazu se 2y pomnoži s 4 - y in ta produkt je enak nič. Ker je kateri koli izraz (ali izraz), pomnožen z nič, nič, potem je 2y ali 4 - y 0. Nastavljeni monom in binom postavite na nič, da poiščete "y".
   • Naloga:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Nastavi na nič:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Oba faktorja nastavite na 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Rešite nastale enačbe, da poiščete končni odgovor (ali odgovore). Ker je vsak faktor enak nič, ima lahko enačba več rešitev. V našem primeru:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Preverite svoj odgovor. Če želite to narediti, najdene vrednosti nadomestite v izvirno enačbo. Če je enakost resnična, je odločitev pravilna. Namesto "y" zamenjajte najdene vrednosti. V našem primeru je y = 0 in y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$To je prava odločitev
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$In to je prava odločitev

3. del 3: Reševanje kompleksnih problemov

1. 1 Ne pozabite, da je izraz s spremenljivko lahko tudi faktoriziran, tudi če je spremenljivka povišana na stopnjo. Pri faktoringu morate najti monom, ki deli vsak član binoma integralno. Na primer mononom ${ displaystyle x ^ {4}}$ je mogoče faktoriti ${ displaystyle x * x * x * x}$... Se pravi, če tudi drugi člen binoma vsebuje spremenljivko "x", potem lahko "x" vzamemo iz oklepajev. Tako spremenljivke obravnavajte kot cela števila. Na primer:
   • Oba člana binoma ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ vsebujejo "t", zato lahko "t" vzamemo iz oklepaja: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Iz nosilca lahko vzamete tudi spremenljivko, ki je povišana na stopnjo. Na primer, oba člana binoma ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ vsebujejo ${ displaystyle x ^ {2}}$, torej ${ displaystyle x ^ {2}}$ lahko vzamete iz nosilca: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Dodajte ali odštejte podobne izraze, da dobite binom. Na primer, glede na izraz ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Na prvi pogled je to polinom, v resnici pa je ta izraz mogoče pretvoriti v binom. Dodajte podobne izraze: 6 in 14 (ne vsebujeta spremenljivke) ter 2x in 3x (vsebujeta isto spremenljivko "x"). V tem primeru bo postopek faktoringa poenostavljen:
   • Izvirni izraz:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Naročite članom:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Dodajte podobne izraze:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Poiščite GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Upoštevajte razliko popolnih kvadratov. Popoln kvadrat je število, katerega kvadratni koren je na primer celo število ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ in celo ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Če je binom razlika popolnih kvadratov, npr. ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, potem se faktorira po formuli:
   • Formula za razliko kvadratov:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Naloga:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Izvlecite kvadratne korenine:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Najdene vrednosti nadomestite s formulo: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktorja razlike med celotnimi kockami. Če je binom razlika celotnih kock, npr. ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, potem se faktorizira po posebni formuli. V tem primeru je treba izvleči koren kocke iz vsakega člana binoma in najdene vrednosti nadomestiti v formulo.
   • Formula za razliko med kockami:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Naloga:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Izvlecite kubične korenine:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Najdene vrednosti nadomestite s formulo: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktor vsote polnih kock. Za razliko od vsote popolnih kvadratov je vsota popolnih kock, na primer: ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, je mogoče faktoriti z uporabo posebne formule. Podobno je formuli za razliko med kockami, vendar so znaki obrnjeni. Formula je precej preprosta - za uporabo poiščite vsoto polnih kock v problemu.
   • Formula za vsoto kock:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Naloga:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Izvlecite kubične korenine:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Najdene vrednosti nadomestite s formulo: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Nasveti

• Včasih binomski člani nimajo skupnega delitelja. Pri nekaterih nalogah so člani predstavljeni v poenostavljeni obliki.
• Če GCD ne najdete takoj, začnite z deljenjem z majhnimi številkami. Če na primer ne vidite, da je GCD številk 32 in 16 16, delite obe številki z 2. Dobite 16 in 8; te številke lahko delite z 8. Zdaj dobite 2 in 1; teh številk ni mogoče zmanjšati. Tako je očitno, da obstaja večje število (v primerjavi z 8 in 2), ki je skupni delilec dveh danih števil.
• Upoštevajte, da so izrazi šestega reda (z eksponentom 6, na primer x) popolni kvadrati in popolne kocke. Tako lahko za binom s členi šestega reda, na primer x - 64, uporabimo (v poljubnem vrstnem redu) formule za razliko kvadratov in razliko kock. Vendar je bolje, da najprej uporabite formulo za razliko kvadratov, da se pravilneje razgradi z binom.

Opozorila

• Binoma, ki je vsota popolnih kvadratov, ni mogoče faktoriti.