Vsebina

• Koraki
• 1. del od 3: Izvleček korenine kocke s preprostim primerom
• 2. del 3: Ocena koreninskih korenin
• 3. del od 3: Razlaga opisanega procesa izračuna
• Nasveti
• Opozorila
• Kaj potrebujete

Če imate pri roki kalkulator, lahko preprosto izvlečete koren kocke poljubnega števila. Če pa nimate kalkulatorja ali pa želite samo narediti vtis na druge, ročno izvlecite koren kocke. Za večino ljudi se bo tukaj opisani postopek zdel precej zapleten, a s prakso bo pridobivanje korenin veliko lažje. Preden začnete brati ta članek, se spomnite osnovnih matematičnih operacij in izračunov s številkami v kocki.

Koraki

1. del od 3: Izvleček korenine kocke s preprostim primerom

1. 1 Zapišite nalogo. Ročno pridobivanje korenin iz kocke je podobno dolgi delitvi, vendar z nekaterimi odtenki. Najprej napišite nalogo v določeno obliko.
   • Zapišite številko, iz katere želite izvleči koren kocke. Številko razdelite v skupine po tri števke in začnite šteti z decimalno vejico. Na primer, morate izvleči koren kocke 10. Zapišite številko tako: 10.000.000. Za izboljšanje natančnosti rezultata se uporabljajo dodatne ničle.
   • Zraven in nad številko narišite korenski znak. Predstavljajte si, da so to vodoravne in navpične črte, ki jih narišete z dolgim ​​deljenjem. Edina razlika je v obliki dveh znakov.
   • Postavite decimalno vejico nad vodoravno črto. To naredite neposredno nad decimalno vejico prvotne številke.
2. 2 Zapomnite si rezultate kocke celih števil. Uporabljali se bodo pri izračunih.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Poiščite prvo številko odgovora. Izberite celobrojno kocko, ki je najbližja prvi skupini treh števk, vendar manjša od nje.
   • V našem primeru je prva skupina treh števk 10. Poiščite največjo kocko, ki je manjša od 10. Ta kocka je 8, koren kocke 8 pa 2.
   • Nad vodoravno črto nad številko 10 zapišite številko 2. Nato zapišite vrednost operacije ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 pod 10. Nariši črto in odštej 8 od 10 (kot pri dolgem deljenju). Rezultat je 2 (to je prvi ostanek).
   • Tako ste našli prvo številko odgovora. Razmislite, če je dani rezultat dovolj natančen. V večini primerov bo to zelo grob odgovor. Kopirajte rezultat, da ugotovite, kako blizu je prvotni številki. V našem primeru: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, kar ni zelo blizu 10, zato je treba izračune nadaljevati.
4. 4 Poiščite naslednjo številko odgovora. Prvemu ostanku dodajte drugo skupino treh števil in potegnite navpično črto levo od nastalega števila. Z dobljeno številko boste našli drugo številko odgovora. V našem primeru je treba prvemu ostanku (2) dodati drugo skupino treh števk (000), da dobimo številko 2000.
   • Levo od navpične črte napišete tri številke, katerih vsota je enaka nekemu prvemu faktorju. Za te številke pustite prazna mesta, vmes pa postavite znake plus.
5. 5 Poiščite prvi izraz (od treh). V prvo prazno mesto zapišite rezultat množenja 300 s kvadratom prve številke odgovora (piše se nad korenskim znakom). V našem primeru je prva številka odgovora 2, zato je 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. V prvo prazno mesto vnesite 1200. Prvi izraz je 1200 (za iskanje še dve številki).
6. 6 Poiščite drugo številko odgovora. Ugotovite, katero število morate pomnožiti 1200, da bo rezultat blizu, vendar ne presega 2000. To število je lahko le 1, saj je 2 * 1200 = 2400, kar je več kot 2000. Napišite 1 (druga številka odgovor) za 2 in decimalno vejico nad korenskim znakom.
7. 7 Poiščite drugi in tretji člen (od treh). Faktor je sestavljen iz treh številk (izrazov), od katerih ste prvo že našli (1200). Zdaj moramo poiskati preostala dva izraza.
   • Pomnožite 3 z 10 in za vsako številko odgovora (napisani so nad korenskim znakom). V našem primeru: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Dodajte ta rezultat na 1200 in dobite 1260.
   • Končno kvadrat zadnjo številko vašega odgovora. V našem primeru je zadnja številka odgovora 1, torej 1 ^ 2 = 1. Torej je prvi faktor vsota naslednjih števil: 1200 + 60 + 1 = 1261. To številko zapišite levo od navpične črte .
8. 8 Pomnožite in odštejte. Zadnjo številko odgovora (v našem primeru je 1) pomnožite z ugotovljenim faktorjem (1261): 1 * 1261 = 1261. To številko zapišite pod 2000 in jo odštejte od 2000. Dobili boste 739 (to je druga ostanek).
9. 9 Pomislite, ali je odgovor, ki ste ga prejeli, dovolj natančen. Naredite to vsakič, ko dokončate naslednje odštevanje. Po prvem odštevanju je bil odgovor 2, kar ni natančen rezultat. Po drugem odštevanju je odgovor 2,1.
   • Če želite preveriti točnost odgovora, ga razrežite: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Če menite, da je odgovor dovolj natančen, vam izračunov ni treba nadaljevati; v nasprotnem primeru naredite še eno odštevanje.
10. 10 Poiščite drugi dejavnik. Če želite vaditi svoje izračune in dobiti natančnejši rezultat, ponovite zgornje korake.
    • Drugemu ostanku (739) dodajte tretjo skupino treh števk (000). Dobili boste številko 739000.
    • 300 pomnožite s kvadratom števila, napisanega nad korenskim znakom (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Poiščite tretjo številko odgovora. Ugotovite, katero število morate pomnožiti 132300, tako da je rezultat blizu, vendar ne presega 739000. To število je 5: 5 * 132200 = 661500. Napiši 5 (tretja številka odgovora) za 1 nad korenskim znakom.
    • Pomnožite 3 z 10 z 21 in z zadnjo številko odgovora (napisani so nad korenskim znakom). V našem primeru: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Končno kvadrat zadnjo številko vašega odgovora. V našem primeru je zadnja številka odgovora 5, torej ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Tako je drugi faktor: 132300 + 3150 + 25 = 135,475.
11. 11 Zadnjo številko odgovora pomnožite z drugim faktorjem. Ko najdete drugi faktor in tretjo številko odgovora, nadaljujte na naslednji način:
    • Zadnjo številko odgovora pomnožite z ugotovljenim faktorjem: 135475 * 5 = 677375.
    • Odštejte: 739000 - 677375 = 61625.
    • Pomislite, ali je odgovor, ki ste ga prejeli, dovolj natančen. Če želite to narediti, ga kocke: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 Zapišite svoj odgovor. Rezultat, napisan nad korenskim znakom, je odgovor z dvema decimalnima mestoma. V našem primeru je koren kocke 10 2,15. Odgovor preverite tako, da ga razrežete na kocke: 2,15 ^ 3 = 9,94, kar je približno 10. Če potrebujete več natančnosti, nadaljujte z izračunom (kot je opisano zgoraj).

2. del 3: Ocena koreninskih korenin

1. 1 Z kockami števil določite zgornjo in spodnjo mejo. Če morate izvleči koren kocke skoraj katerega koli števila, poiščite kocke (nekaj številk), ki so blizu danemu številu.
   • Na primer, morate izvleči koren kocke 600. Ker ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ in ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$, potem je koren kocke 600 med 8 in 9. Zato uporabite 512 in 729 kot zgornjo in spodnjo mejo vašega odgovora.
2. 2 Ocenite drugo številko. Prvo številko ste našli po zaslugi poznavanja kock celih števil. Zdaj pretvorite celo število v decimalni ulomek, tako da mu (po decimalni vejici) dodelite nekaj števk od 0 do 9. Najti morate decimalni ulomek, katerega kocka bo blizu, vendar manjša od prvotne številke.
   • V našem primeru je številka 600 med 512 in 729. Na primer, k prvi najdeni številki (8) dodajte številko 5. Dobite številko 8.5.
3. 3 Ocenite nastalo število tako, da ga sestavite v kocko. Naredite to, da preverite, ali je kocka blizu, vendar ne večja od prvotne številke.
   • V našem primeru: ${ displaystyle 8,5 * 8,5 * 8,5 = 614,1.}$
4. 4 Po potrebi ocenite drugo številko. Primerjajte kocko nastale številke z izvirno številko. Če je kocka dobljenega števila večja od prvotne številke, poskusite oceniti nižje število. Če je kocka dobljenega števila veliko manjša od prvotnega števila, ocenjujte velika števila, dokler kocka enega od njih ne preseže izvirnega števila.
   • V našem primeru: ${ displaystyle 8,5 ^ {3}}$ > 600. Tako ocenite manjše število 8.4. Kockajte to številko in jo primerjajte z izvirno številko: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Ta rezultat je manjši od prvotne številke. Tako je koren kocke 600 med 8,4 in 8,5.
5. 5 Ocenite naslednjo številko, da izboljšate natančnost svojega odgovora. Za vsako zadnjo ocenjeno številko dodajte številko od 0 do 9, dokler ne dobite natančnega odgovora. V vsakem ocenjevalnem krogu morate najti zgornjo in spodnjo mejo, med katero je prvotna številka.
   • V našem primeru: ${ displaystyle 8,4 ^ {3} = 592,7}$ in ${ displaystyle 8,5 ^ {3} = 614,1}$... Prvotno število 600 je bližje 592 kot 614. Zato zadnjemu številu, ki ste ga ocenili, dodajte števko, ki je bližje 0 kot 9. Na primer, to število je 4. Zato kockajte število 8,44.
6. 6 Po potrebi ocenite drugo številko. Primerjajte kocko nastale številke z izvirno številko. Če je kocka dobljenega števila večja od prvotne številke, poskusite oceniti nižje število. Skratka, najti morate dve številki, katerih kocke so nekoliko večje in nekoliko manjše od prvotne številke.
   • V našem primeru ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... To je nekoliko večje od prvotnega števila, zato ocenite drugo (manjše) število, na primer 8,43: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Tako je koren kocke 600 med 8,43 in 8,44.
7. 7 Sledite temu postopku, dokler ne dobite zadovoljivega odgovora. Ocenite naslednjo številko, jo primerjajte z izvirnikom, nato po potrebi ocenite drugo številko itd. Upoštevajte, da vsaka dodatna številka za decimalno vejico poveča natančnost vašega odgovora.
   • V našem primeru je kocka števila 8.43 manjša od prvotne številke za manj kot 1. Če potrebujete več natančnosti, kocko številke 8.434 in dobite to ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$, to pomeni, da je rezultat manjši za 0,1 manj od prvotnega števila.

3. del od 3: Razlaga opisanega procesa izračuna

1. 1 Spomnite se binomske serije. Binomska serija je rezultat dviga binoma (binom) na določeno moč, v tem primeru na kocko. Če želite razumeti tukaj opisani algoritem ekstrakcije korenine kocke, se najprej spomnite, kako je binom kocka. Verjetno ste se tega naučili v šoli (in verjetno kmalu pozabili, tako kot večina ljudi). Spremenljivke ${ displaystyle A}$ in ${ displaystyle B}$ označite nekaj enomestnih številk. Nato lahko dvomestno število zapišemo kot binom ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • Tukaj je član ${ displaystyle 10A}$ predstavlja mesto desetic, torej če ${ displaystyle A}$ Je torej enomestno število ${ displaystyle 10A}$ - to je že ustrezno dvomestno število. Na primer, če ${ displaystyle A}$ = 2 in ${ displaystyle B}$ = 6, potem ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26, to pomeni, da imate dvomestno število 26.
2. 2 Kocimo binom. To naredite, če želite razumeti postopek ekstrakcije korenine kocke, opisan v prvem razdelku. Izračunaj ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (tukaj smo izpustili več stopenj gradnje kocke, da ne bi zamašili članka z izračuni).
   • Podrobno razlago najdete tukaj.
3. 3 Razumeti algoritem dolge delitve. Upoštevajte, da je tukaj opisana metoda korenine kocke zelo podobna dolgi delitvi. Pri deljenju v stolpcu morate najti število (količnik), ko pomnožite z deliteljem, dobite dividendo. Pri opisani metodi se kot količnik uporabi rezultat ekstrakcije korenine kocke (piše se nad korenskim znakom). To pomeni, da lahko rezultat ekstrakcije korenine kocke predstavimo kot binom (10A + B). Natančni vrednosti A in B na tej stopnji nista pomembni: ne pozabite, da je rezultat mogoče zapisati kot binom.
4. 4 Poglejte binomsko območje. To je vsota štirih monomov, zahvaljujoč katerim lahko razumete načelo delovanja algoritma ekstrakcije korenine kocke. Upoštevajte, da je množitelj za vsak korak pridobivanja korena enak vsoti štirih izrazov, ki jih je treba izračunati in dodati.
   • Faktor za prvi izraz je 1000. Za izračun prve številke odgovora najprej poiščete kocko celega števila, ki je najbližje določenemu številu, vendar manjše od njega (in sicer prva trimestna skupina). To definira 1000A ^ 3 člana binomske vrste.
   • Množitelj drugega člena binomskega niza je število 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Spomnite se, da so se na vsaki stopnji ekstrakcije korenine kocke ustrezne številke (-e) odgovora pomnožile s 300.
   • Drugi izraz na vsaki stopnji ekstrakcije korenin je določen s tretjim členom binomske vrste, ki je enak 30AB ^ 2.
   • Tretji izraz na vsaki stopnji ekstrakcije korenin je določen s četrtim členom binomskega niza, ki je enak B ^ 3.
5. 5 Upoštevajte povečanje natančnosti odgovora. Več ko boste šli skozi faze pridobivanja korenin, natančnejši bo odgovor. Na primer, v tem članku ste morali izvleči koren kocke 10. Na prvi stopnji je odgovor 2, saj ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, kar je blizu, vendar manj kot 10. Na drugi stopnji je odgovor 2,1, ker ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, ki je veliko bližje 10. Na tretji stopnji je odgovor 2,15, saj ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9,94}$... Izračun lahko nadaljujete s skupinami po tri števke, da izboljšate natančnost svojega odgovora.

Nasveti

• Vadite, da obvladate opisane metode. Bolj ko vadite, hitreje boste prišli do izračunov.

Opozorila

• V procesu izračuna je zelo enostavno narediti napako. Zato preverite odgovor.

Kaj potrebujete

• Svinčnik ali svinčnik
• Papir
• Vladar
• Radirka