Vsebina

• Stopati
• Metoda 1 od 2: Vlečenje korenin z glavnimi faktorji
• Metoda 2 od 2: Iskanje kvadratnih korenin brez kalkulatorja
• Z dolgo delitvijo
• Razumeti postopek
• Nasveti
• Opozorila

Pred pojavom kalkulatorjev so morali tako študenti kot profesorji kvadratne korenine izračunati s peresom in papirjem. Takrat so bile razvite različne tehnike za reševanje tega včasih težkega dela, od katerih nekatere dajo grobo oceno, druge pa izračunajo natančno vrednost. Preberite, če želite izvedeti, kako v nekaj preprostih korakih najti kvadratni koren števila.

Stopati

Metoda 1 od 2: Vlečenje korenin z glavnimi faktorji

1. Razdelite svoje število na faktorje moči. Ta metoda uporablja faktorje števila za iskanje kvadratnega korena števila (odvisno od števila je lahko natančen odgovor ali ocena). The dejavniki danega števila so poljubna zaporedja števil, ki se pomnožijo skupaj, da tvorijo to določeno število. Na primer, lahko rečete, da so faktorji 8 enaki 2 in 4, ker je 2 × 4 = 8. Popolni kvadratki pa so cela števila, ki so zmnožek drugih celih števil. Na primer, 25, 36 in 49 so popolni kvadrati, ker so enaki 5, 6 oziroma 7. Drugi faktorji moči, kot ste razumeli, so faktorji, ki so tudi popolni kvadrati. Če želite najti kvadratni koren z uporabo glavnih faktorjev, najprej poskusite število razdeliti na druge faktorje moči.
   • Vzemimo naslednji primer. Našli bomo kvadratni koren 400. Za začetek delimo število na faktorje moči. Ker je 400 večkratnik 100, vemo, da je enakomerno deljeno s 25 - popoln kvadrat. Hitra pot nam pove, da je 400/25 = 16,16 tudi popoln kvadrat. Faktorji kocke 400 so torej 25 in 16 ker 25 × 16 = 400.
   • To zapišemo kot: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Vzemite kvadratne korenine vaših drugih faktorjev moči. Pravilo o produktu kvadratnih korenin določa, da za katero koli določeno število a in b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Zaradi te lastnosti lahko zdaj vzamemo kvadratne korenine faktorjev kvadratov in jih pomnožimo, da dobimo odgovor.
   • V našem primeru vzamemo kvadratne korenine 25 in 16. Glej spodaj:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Če vaše številke ni mogoče popolnoma upoštevati, jo poenostavite. V resnici številke, za katere želite določiti kvadratne korenine, ne bodo lepe zaokrožene številke z lepimi kvadratki, kot je 400. V teh primerih morda ni mogoče dobiti celotnega števila kot odgovor. Namesto tega lahko z vsemi faktorji moči, ki jih najdete, odgovor določite kot manjši, enostavnejši kvadratni koren. To storite tako, da število zmanjšate na kombinacijo faktorjev moči in drugih dejavnikov, nato pa ga poenostavite.
   • Za primer vzamemo kvadratni koren 147. 147 ni zmnožek dveh popolnih kvadratov, zato ne moremo dobiti lepe celoštevilčne vrednosti. Ampak to je zmnožek popolnega kvadrata in druge številke - 49 in 3. S pomočjo teh informacij lahko svoj odgovor napišemo na najpreprostejši način:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Po potrebi poenostavite. Če uporabimo kvadratni koren v najpreprostejših izrazih, je ponavadi dokaj enostavno dobiti grobo oceno odgovora, tako da ocenimo preostale kvadratne korenine in jih pomnožimo. Eden od načinov za izboljšanje ugibanj je poiskati popolne kvadratke na obeh straneh števila v kvadratnem korenu. Veste, da je decimalna vrednost števila v vašem kvadratnem korenu nekje med tema dvema številkama, zato bo vaša domneva morala biti tudi med tema številkama.
   • Vrnimo se k našemu primeru. Ker je 2 = 4 in 1 = 1, vemo, da je Sqrt (3) med 1 in 2 - verjetno bližje 2 kot 1. Ocenjujemo, da je 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Če to preverimo s kalkulatorjem, vidimo, da smo zelo blizu odgovoru: 12,13.
     • To deluje tudi pri večjih številkah. Na primer, sqrt (35) je približno med 5 in 6 (verjetno bližje 6). 5 = 25 in 6 = 36,35 je med 25 in 36, zato bo kvadratni koren med 5 in 6. Ker je 35 tik pod 36, lahko z nekaj zaupanja trdimo, da je kvadratni koren le-tega samo je manj kot 6. Preverjanje s kalkulatorjem nam da odgovor približno 5,92 - imeli smo prav.
5. Kot prvi korak lahko številko poenostavite na najmanj skupni večkratnik. Iskanje faktorjev moči ni potrebno, če zlahka najdete praštevnike števila (faktorje, ki so hkrati tudi praštevila). Število zapiši z najmanj skupnimi večkratniki. Nato med faktorji poiščite ujemajoče se pare praštevil. Ko najdete dva glavna faktorja, ki se ujemata, ju odstranite iz kvadratnega korena in postavite a teh številk zunaj kvadratnega koreninskega znaka.
   • S to metodo na primer določimo kvadratni koren iz 45. Vemo, da je 45 = 9 × 5 in da je 9 = 3 × 3. Torej lahko kvadratni koren zapišemo takole: Sqrt (3 × 3 × 5). Preprosto izbrišite tri in postavite trojko zunaj kvadratnega korena, da dobite poenostavljen kvadratni koren: (3) Sqrt (5). Zdaj lahko enostavno naredite oceno.
   • Končni primer; določimo kvadratni koren 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). V našem kvadratnem korenu imamo več dvojk. Ker je 2 prime, lahko odstranimo par in postavimo 2 zunaj korena.
     • = Naš kvadratni koren v najpreprostejših izrazih je (2) Sqrt (2 × 11) oz (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Zdaj se lahko obrnemo na Sqrt (2) in Sqrt (11) in poiščemo približen odgovor, če bi to želeli.

Metoda 2 od 2: Iskanje kvadratnih korenin brez kalkulatorja

Z dolgo delitvijo

1. Števke svojega števila razdelite v pare. Ta metoda je podobna dolgi delitvi, ki omogoča razdelitev natančno kvadratni koren številske številke za številko. Čeprav ni nujno, lahko razstavljanje številk na izvedljive dele olajša reševanje, še posebej, če je dolgo. Najprej narišite navpično črto, ki deli delovno območje na 2 področji, nato krajšo črto blizu vrha desnega območja, tako da jo delite na manjši zgornji del in večji del spodaj. Nato število razdelite na pare števil, začenši z decimalno vejico. Po tem pravilu 79520789182.47897 postane "7 95 20 78 91 82.47 89 70". To številko zapišite v zgornji levi del.
   • Kot primer izračunajmo kvadratni koren 780,14. Razdelite svoj delovni prostor kot zgoraj in v zgornjem levem kotu napišite "7 80, 14". V redu je, če je na skrajni levi le ena številka namesto dveh. Nato na vrh desnega območja napišete odgovor (kvadratni koren 780,14).
2. Poiščite največje celo število n katerega kvadrat je manjši ali enak najbolj levi števki ali številu. Poiščite največji kvadrat, ki je manjši ali enak temu številu, in nato poiščite kvadratni koren tega kvadrata. Ta številka je n. To zapišite v zgornji desni del in v spodnji kvadrant tega območja zapišite kvadrat n.
   • V našem primeru je skrajno leva številka številka 7. Ker vemo, da je 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, lahko rečemo, da je n = 2, ker je to največje celo število, katerega kvadrat je manjši ali enak 7. V zgornji desni kvadrant vpišite 2. To je prva številka odgovora. V spodnji desni kvadrant zapišite 4 (kvadrat 2). Ta številka je pomembna za naslednji korak.
3. Odštejte izračunano število skrajne leve številke ali števila. Kot pri dolgi delitvi je tudi naslednji korak odštevanje kvadrata od števila, ki smo ga pravkar uporabili za izračun. To številko zapišite pod skrajno levo številko in jih odštejte. Odgovor zapišite spodaj.
   • V našem primeru napišemo 4 pod 7 in ga odštejemo. To daje 3 v odgovor.
4. Premakni naslednjo številko navzdol. To postavite poleg vrednosti, ki ste jo našli v prejšnjem urejanju. Številko zgoraj desno pomnožite z dve in jo zapišite spodaj desno. Pustite prostor poleg številke, ki ste jo pravkar zapisali, za vsoto, ki jo boste naredili v naslednjem koraku. Zapiši tukaj "_ × _ =" ".
   • V našem primeru je naslednja številka "80". V levi kvadrant zraven 3 napišite "80". Nato pomnožite številko zgoraj desno z 2. Ta številka je 2, torej 2 × 2 = 4. Spodaj desno zapišite "" 4 "", ki ji sledi _×_=.
5. Vnesite številke na desni. V prazen prostor vsote (desno) vnesite največje celo število, zaradi katerega bo rezultat množenja na desni manjši ali enak trenutnemu številu na levi.
   • V našem primeru vnesemo 8 in tako dobimo 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. To je večje od 380. Torej je 8 preveliko, 7 pa verjetno ni. Izpolnite 7 in rešite: 4 (7) × 7 = 329. 7 je dobro, ker je 329 manj kot 380. Zgoraj desno napišite 7. To je druga številka v kvadratnem korenu 780,14.
6. Od trenutne številke na levi strani odštejte pravkar izračunano številko. Torej od trenutnega odgovora na levi odštejete rezultat množenja na desni. Odgovor zapišite neposredno pod njim.
   • V našem primeru od 380 odštejemo 329 in to daje 51 kot rezultat.
7. Ponovite 4. korak. Premaknite naslednji par številk s 780,14 navzdol. Ko pridete do vejice, to vejico napišite v odgovor na desni. Nato zgornjo desno številko pomnožite z 2 in odgovor zapišite poleg ("_ × _"), kot je opisano zgoraj.
   • V odgovor zdaj napišemo vejico, ker se s tem srečujemo tudi v 780.14. Naslednji par (14) premaknite navzdol po levem kvadrantu. 27 x 2 = 54, zato v spodnji desni kvadrant zapišemo "54 _ × _ =".
8. Ponovite 5. in 6. korak. Poiščite največje število, ki daje odgovor, ki je manjši ali enak trenutnemu številu na levi. Rešiti.
   • V našem primeru je 549 × 9 = 4941, kar je manj ali enako številu na levi (5114). 549 × 10 = 5490, kar je previsoko, torej 9 je naš odgovor. Zapiši 9 kot naslednjo zgornjo desno številko in odštevaj rezultat množenja od leve številke: 5114 -4941 = 173.
9. Za natančnost rezultata ponavljajte prejšnji postopek, dokler ne najdete odgovora s številom decimalnih mest (stotink, tisočink), ki ga potrebujete.

Razumeti postopek

1. Število, katerega kvadratni koren želite izračunati, upoštevajte kot površino S kvadrata. Ker je površina kvadrata L, kjer je L dolžina ene njegove stranice, torej z iskanjem kvadratnega korena svojega števila poskušate izračunati dolžino stranice tega kvadrata.
2. Vsaki številki svojega odgovora dajte črko. Vnesite spremenljivko A kot prvo številko L (kvadratni koren, ki ga skušamo izračunati). B je druga številka, C tretja itd.
3. Vsakemu "paru številk" številke, s katero začnete, dajte črko. Dajte spremenljivko S_a na prvi par števk v S (začetna vrednost), S._b na drugi par števk itd.
4. Razumevanje razmerja med to metodo in dolgo delitvijo. Ta način iskanja kvadratnega korena je v bistvu dolga delitev, pri čemer začetno vrednost delite s kvadratnim korenom in kot odgovor »daste« kvadratni koren. Tako kot pri dolgi delitvi, kjer vas hkrati zanima le naslednja številka, vas hkrati zanimata le naslednji dve števki (ki ustrezata naslednji številki kvadratnega korena).
5. Poiščite največje število, katerega kvadrat je manjši ali enak S._a je. Prva številka A v našem odgovoru je takrat največje celo število, katerega kvadrat ni večji od S._a (Tak, da je A² ≤ Sa (A + 1) ²). V našem primeru je S_a = 7 in 2² ≤ 7 3², torej A = 2.
   • Če delite 88962 s 7 z dolgim ​​deljenjem, je prvi korak enak: najprej se ukvarjate s prvo številko 88962 (8) in želite, da se največja številka pomnoži s 7, ki je manjša ali enaka 8. V bistvu ste določiti d tako, da je 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). V tem primeru je d enako 1.
6. Vizualizirajte kvadrat, katerega območje želite najti. Vaš odgovor, kvadratni koren začetne vrednosti, je L, ki opisuje dolžino kvadrata s površino S (začetna vrednost). Vrednosti za A, B in C predstavljajo števke v vrednosti L. Drug način tega lahko rečemo tako, da je za dvomestni odgovor 10A + B = L in za trimestni odgovor 100A + 10B + C = L itd.
   • V našem primeru (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ne pozabite, da 10A + B predstavlja naš odgovor L skupaj z B v položaju enot in A v položaju deset. Na primer, če je A = 1 in B = 2, potem je 10A + B številka 12. (10A + B) ² je površina celotnega kvadrata, medtem ko 100A² je površina največjega notranjega kvadrata, B² je površina najmanjšega kvadrata in 10A × B je površina vsakega od preostalih pravokotnikov. S tem dolgim, zapletenim postopkom lahko najdemo površino celotnega kvadrata, tako da mu dodamo površine kvadratov in pravokotnikov, ki so del tega kvadrata.
7. Odštejte A² od S._a. Prinesite par številk (S._b) navzdol od številke S. S._a S._b je skoraj celotna površina kvadrata, od katerega ste pravkar odšteli površino največjega notranjega kvadrata. Preostanek je recimo številka N1, ki smo jo dobili v koraku 4 (N1 = 380 v našem primeru). N1 je enako 2 × 10A × B + B² (površina 2 pravokotnika in površina majhnega kvadrata).
8. Poglej N1 = 2 × 10A × B + B², zapisano tudi kot N1 = (2 × 10A + B) × B. V našem primeru že poznate N1 (380) in A (2), zato morate zdaj najti B. B verjetno ni celo število, zato moraš pravzaprav poiščite največje celo število B, tako da je (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Zdaj imate: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Reši enačbo. Če želite rešiti to enačbo, pomnožite A z 2, jo premaknite na deset (pomnožite z 10), dajte B v enote in rezultat pomnožite z B. Z drugimi besedami, (2 × 10A + B) × B. To je natančno tisto, kar naredite, ko v spodnjem desnem kvadrantu v 4. koraku napišete "N_ × _ =" (z N = 2 × A). V 5. koraku določite največje celo število B, ki ustreza črti, torej (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Od celotne površine odštejte površino (2 × 10A + B) × B. Tako dobimo površino S- (10A + B) ², ki je še niste upoštevali (in ki jo uporabljate za izračun naslednjih števil na enak način).
11. Za izračun naslednje številke C ponovite postopek. Premaknite naslednji par številk od S navzdol (S_c), da dobite N2 na levo in poiščite največje C, tako da imate zdaj: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (enako dvakrat dvomestnemu številu "AB", ki mu sledi z "_ × _ =" Zdaj določite največje število, ki ga lahko vnesete sem, kar vam bo dalo odgovor, ki je manjši ali enak N2.

Nasveti

• Če vejico premaknete za dve mesti (faktor 100), se vejica v ustreznem kvadratnem korenu premakne za eno mesto (faktor 10).
• V primeru bi 1,73 lahko šteli za "ostanek": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Ta metoda deluje za kateri koli številski sistem, ne le za decimalni (decimalni) sistem.
• Izračune lahko postavite kamor želite. Nekateri jo napišejo nad številom, za katerega želijo izračunati kvadratni koren.
• Alternativna metoda je naslednja: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Na primer, za izračun kvadratnega korena 780,14 vzemite celo število, katerega kvadrat je najbližji 780,14 (28), torej = 780,14, x = 28 in y = -3,86. Izpolnitev in ocena nam da x + y / (2x) in to (poenostavljeni izrazi) 78207/2800 ali približno 27.931 (1); naslednji izraz, 4374188/156607 ali približno 27.930986 (5). Vsak izraz prejšnjemu doda približno 3 decimalna mesta natančnosti.

Opozorila

• Poskrbite, da boste število razdelili v pare od decimalne vejice. Razdelitev 79520789182.47897 kot "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "daje napačen rezultat.