Analizirajte kvadratne enačbe na faktorje - Nasveti

Video.: Razstavljanje kvadratne enačbe 1

Vsebina

Koraki
Nasvet
Kaj rabiš

V matematiki, faktorska analiza je najti števila ali izraze z zmnožkom določenega števila ali enačbe. Faktorska analiza je koristna veščina za reševanje osnovnih algebrskih problemov: sposobnost dobrega razčlenjevanja na faktorje je pri delu skorajda ključnega pomena. z algebrskimi enačbami ali drugimi polinomskimi oblikami. Faktorsko analizo lahko uporabimo za zmanjšanje algebrskih izrazov, s čimer postane problem enostavnejši. Zahvaljujoč njej lahko nekatere možne odgovore celo odpravite veliko hitreje kot ročno reševanje.

Koraki

Metoda 1 od 3: Analizirajte števila in osnovne algebraične izraze v faktorje

Razumevanje definicije faktorske analize pri uporabi posameznih števil. Čeprav je konceptualno preprosto, je uporaba praktičnih enačb v praksi lahko precej zahtevna. Zato je najlažji konceptualni pristop faktorske analize, da začnemo z enim številom in nato nadaljujemo s preprostimi enačbami, preden nadaljujemo z naprednejšimi aplikacijami. Faktor za dano številko so številke z zmnožkom iste številke. Na primer, 1, 12, 2, 6, 3 in 4 so faktorji 12, ker so 1 × 12, 2 × 6 in 3 × 4 enaki 12.
- Z drugimi besedami, dejavniki določenega števila so številke je razdeljeno s to številko.
- Ali lahko najdete celoten faktor 60? Število 60 se uporablja za različne namene (minute v eni uri, sekunde v minuti itd.), Ker je deljivo s številnimi številkami.
  - Število 60 ima naslednje dejavnike: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in 60.
Razumejte, da je mogoče izraze, ki vsebujejo spremenljivke, tudi razstaviti na faktorje. Poleg neodvisnih števil lahko tudi faktorjiramo spremenljivke z aritmetičnimi koeficienti. Če želite to narediti, moramo samo najti dejavnike koeficienta spremenljivke. Vedeti, kako razčleniti analizo, je zelo koristno pri preprostih pretvorbah algebarskih enačb, ki vsebujejo spremenljivke.
- Na primer 12x lahko prepišemo v rezultat 12 in x. 12x je mogoče zapisati kot 3 (4x), 2 (6x) itd. In uporabiti kateri koli faktor, ki najbolj ustreza predvideni uporabi 12.
  - Lahko greš celo do 12-kratne analize velikokrat. Z drugimi besedami, ni se treba ustaviti pri 3 (4x) ali 2 (6x) - lahko analiziramo 4x in 6x, da dobimo 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Ta formula je enakovredna.
Uporabite asociativne lastnosti množenja, da razstavite algebrske enačbe na faktorje. S svojim znanjem o analizi neodvisnih števil in koeficientov v faktorje lahko poenostavite preproste algebrske enačbe tako, da poiščete skupne faktorje števil in spremenljivk, vključenih v enačbo. Pogosto bomo, da bo enačba čim bolj enostavna, poskusili najti največji skupni delilec. Ta preprosta preobrazba je mogoča zaradi asociativne narave množenja - za vsako število a, b in c imamo: a (b + c) = ab + ac.
- Upoštevajmo naslednji primer težave. Če algebrsko enačbo 12x + 6 razstavimo na faktor, najprej najdemo največji skupni delilec 12x in 6. 6 je največje število, s katerim sta deljena tako 12x kot 6, zato lahko pretvorimo enačbo zmanjšajte na 6 (2x + 1).
- Isti postopek velja za enačbe, ki imajo negativne znake in ulomke. Na primer x / 2 + 4 lahko preprosto pretvorimo v 1/2 (x + 8), -7x + -21 pa lahko razgradimo na -7 (x + 3).
oglas

Metoda 2 od 3: Analiza kvadratnih enačb na faktorje

Prepričajte se, da je enačba v kvadratni obliki (ax + bx + c = 0). Kvadratna enačba ima obliko ax + bx + c = 0, kjer so a, b in c konstante, a pa nič (upoštevajte, da je a maja enako 1 ali -1). Če enačba z ena spremenljivko (x) vsebuje enega ali več izrazov, ki vsebujejo kvadrat x, lahko pogosto uporabite osnovno algebro, da eno stran enakovrednega znaka pretvorite v 0 in pustite ax itd. na drugi strani.
- Na primer, algebrsko enačbo 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 lahko zmanjšamo na x + 6x + 9 = 0, kar je kvadratna oblika.
- Enačbe, kjer ima x večji eksponent, na primer x, x itd. ne more biti kvadratna. So kvadratne, kvaterne, ... razen če je enačbo mogoče zmanjšati z odpravo členov, ki vsebujejo moči 3 ali več x.
Pri kvadratnih enačbah se pri a = 1 razgradi na (x + d) (x + e), kjer je d × e = c in d + e = b. Če je kvadratna enačba v obliki x + bx + c = 0 (ali z drugimi besedami, če je koeficient x = 1), obstaja možnost (vendar ne prepričana), da lahko uporabimo razmeroma hiter izračun. enostavno je to enačbo razčleniti. Poiščite dve števili, enaki c in vsota je enaka b. Ko najdete d in e, jih nadomestite z naslednjim izrazom: (x + d) (x + e). Če ju pomnožimo skupaj, dobimo zgornjo kvadratno enačbo - z drugimi besedami, sta dejavnika enačbe.
- Vzemimo za primer kvadratno enačbo x + 5x + 6 = 0. 3 in 2 imata zmnožek 6, hkrati pa imata skupaj 5. Zato lahko enačbo preprosto pretvorimo v (x + 3) ( x + 2).
- Ta osnovna hitra rešitev bo nekoliko drugačna, če bo enačba nekoliko drugačna:
  - Če je kvadratna enačba v obliki x-bx + c, bo vaš odgovor v obliki: (x - _) (x - _).
  - Če je v obliki x + bx + c, bo vaš odgovor: (x + _) (x + _).
  - Če je v x-bx-c, bo vaš odgovor v obliki (x + _) (x - _).
- Opomba: v presledkih so lahko ulomki ali decimalna mesta. Na primer, enačba x + (21/2) x + 5 = 0 se razgradi na (x + 10) (x + 1/2).
Če je mogoče, izvedite faktorsko analizo s testiranjem. Verjeli ali ne, pri nezapleteni kvadratni enačbi je ena od sprejetih metod razčlenjevanja na enostavnost preprosto iskanje problema in nato tehtanje vseh možnih odgovorov, dokler ne najdemo rezultata. pravilen odgovor. Znana je tudi kot testna metoda.Če ima enačba obliko ax + bx + c in a> 1, bo vaša faktorizacija imela obliko (dx +/- _) (ex +/- _), kjer sta d in e konstanti drugi ni enak a. d ali e (ali oboje) maja enako 1, čeprav ne bo nujno. Če sta oba enaka 1, bi v bistvu uporabili zgoraj prikazano hitro delo.
- Razmislite o naslednjem primeru težave. Na prvi pogled se zdi 3x - 8x + 4 precej zastrašujoče. Ko pa ugotovite, da ima 3 le dva dejavnika (3 in 1), je težava lažja, ker vemo, da mora biti odgovor v obliki (3x +/- _) (x +/- _). V tem primeru je z zamenjavo -2 v obeh presledkih pravilen odgovor. -2 × 3x = -6x in -2 × x = -2x. -6x in -2x skupaj enako -8x. -2 × -2 = 4, zato lahko vidimo, da nam elementi, razčlenjeni v oklepajih, dajo začetno enačbo.
Rešite problem tako, da izpolnite kvadrat. V nekaterih primerih lahko kvadratne enačbe hitro in enostavno pomnožimo s posebno algebrsko identiteto. Vsaka kvadratna enačba oblike x + 2xh + h = (x + h). Če je torej v enačbi b dvakrat več kvadratnega korena c, lahko enačbo razložimo na (x + (sqrt (c))).
- Enačba x + 6x + 9 bi na primer delovala za to obliko. 3 je enako 9 in 3 × 2 enako 6. Torej vemo, da je oblika razčlenjevanja te enačbe (x + 3) (x + 3) ali (x + 3).
Rešite kvadratne enačbe s faktorji. Kakor koli že, ko je kvadratni izraz razdeljen na faktorje, lahko poiščete možen odgovor na vrednost x tako, da vsakemu faktorju daste nič in ga rešite. Ker iščete vrednost x tako, da je enačba nič, je vsak x, ki povzroči, da je faktor nič, možna rešitev za to enačbo.
- Vrnite se k enačbi x + 5x + 6 = 0. Ta se razgradi na (x + 3) (x + 2) = 0. Ko je en faktor nič, celotna enačba postane nič. Možne rešitve x so števila, zaradi katerih sta (x + 3) in (x + 2) enaka 0, -3 in -2.
Preverite svoje odgovore - nekateri so lahko eksotični! Ko najdete možne rešitve x, jih nadomestite z izvirno enačbo, da ugotovite, ali so pravilne ali ne. Včasih ga najde odgovor ni problema povzroči, da je prvotna enačba pri zamenjavi enaka nič. Te rešitve imenujemo Eksotično in jih odpraviti.
- Zamenjajmo -2 in -3 za x + 5x + 6 = 0. Najprej -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Da, torej -2 je veljavna rešitev enačbe.
- Zdaj poskusimo z -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. To tudi drži, zato je -3 tudi veljavna rešitev enačbe.
oglas

3. metoda od 3: Analizirajte druge vrste enačb na faktorje

Če je enačba v obliki a-b, jo razložite na (a + b) (a-b). Enačba z dvema spremenljivkama se analizira drugače kot temeljna kvadratna enačba. Vsaka enačba a-b, v kateri a in b nista nič, se razgradi v (a + b) (a-b).
- Na primer enačba 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Če je enačba v obliki a + 2ab + b, jo razložite na (a + b). Upoštevajte, da če je trinom v obliki a-2ab + b, se bo oblika razčlenjevanja nekoliko razlikovala: (a-b).
- Enačbe 4x + 8xy + 4y lahko prepišemo kot 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Zdaj vidimo, da je v pravilni obliki, in lahko samozavestno rečemo, da je faktoristična oblika te enačbe (2x + 2y).
Če je enačba v obliki a-b, jo razložite na (a-b) (a + ab + b). Na koncu je treba povedati, da lahko trojne enačbe in enačbe še višjega reda razstavimo na faktorje. Vendar bo postopek analize hitro postal izjemno zapleten.
- Na primer, 8x - 27y se razgradi na (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
oglas

Nasvet

a-b je mogoče razstaviti na faktor, a + b pa ne.
Upoštevajte, kako upoštevajte konstante - lahko je koristno.
Med faktorsko analizo bodite pozorni na ulomke ter z njimi ravnajte pravilno in primerno.
Pri tridentu x + bx + (b / 2) bi bila njegova razstavitev na faktor (x + (b / 2)) (morda boste naleteli na to situacijo med izpolnjevanjem kvadrata).
Ne pozabite, da je a0 = 0 (lastnost, pomnožena z nič).